1.6：多項式環

例 1.2.4では整数係数の多項式環を考えたが，より一般に係数としてある可換環の元を考えることができる． 可換環$R$に対して，$x$を変数とする$R$係数の多項式とは，ある非負整数$d \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$と元$a_0,a_1,\ldots,a_d \in R$を用いて \[ \sum^d_{i=0}a_i x^i=a_0+a_1x +\cdots +a_d x^d \] と表されるものをいう． $R$係数多項式全体の集合を$R[x]$で表す． また$R[x]$に加法$+$と乗法$\cdot$を以下で定義する：２つの多項式$\sum^d_{i=0}a_i x^i,\sum^e_{i=0}b_i x^i \in R[x]$に対し， \begin{align*} \left(\sum^d_{i=0}a_i x^i\right)+\left(\sum^e_{i=0}b_i x^i\right)=\sum^{\max\{d,e\}}_{i=0} (a_i+b_i)x^i,\\ \left(\sum^d_{i=0}a_i x^i\right) \cdot \left(\sum^e_{i=0}b_i x^i\right)=\sum^{d+e}_{k=0}\left( \sum_{i+j=k} a_ib_j \right)x^k, \end{align*} ただし，定義されていない$a_i,b_i$は$0$とする． 通常の場合と同様に多項式の次数を定義する． 多項式環の重要な性質としてもとの$R$が整域であれば，その多項式環も整域になることである． 多変数の多項式環も$1$変数の場合と同様に定義できる．$x_1,\ldots,x_n$を変数とする可換環$R$上の$n$変数多項式環を$R[x_1,\ldots,x_n]$とする．一方で$R[x_1,\ldots,x_n]$は次のように定義することができる．まず$1$変数多項式環$R[x_1]$を考える．そしてこの可換環$R[x_1]$上の$1$変数多項式環$(R[x_1])[x_2]$を考える．すると$R[x_1,x_2]$の演算（和と積）の結果は$(R[x_1])[x_2]$の演算の結果と一致している．実際，$R[x_1,x_2]$の演算は$x_1$と$x_2$を同時に考え，$(R[x_1])[x_2]$の演算は$x_2$をまず考え，続いて$x_1$を考えるが，結果として得られる多項式や演算が一致するため，$R[x_1,x_2] = (R[x_1])[x_2]$ と同一視してよい．これを続けることで$R[x_1,\ldots,x_n]$は \[ R[x_1,\ldots,x_n]=(R[x_1,\ldots,x_{n-1}])(x_n) \] として定義することができる．この定義の利点は帰納法が使いやすいところである．実際，定理 1.6.3から次の系が得られる．