$R \neq 0$を可換環とする．このとき，$\{0\}$は$R$のイデアルである． 実際，

• $0\in \{0\}$．

• $0+0=0\in I$．

• 任意の$a \in R$に対し，$a \cdot 0 = 0\in I$．

から従う．一方，$R$自身も明らかに$R$のイデアルである．この$\{0\}$と$R$を$R$の自明なイデアルといい，それ以外のイデアルを真のイデアル (proper ideal)という．つまり，真のイデアルとは$\{0 \} \subsetneq I \subsetneq R$を満たすイデアル$I$のことである．

整数$n$に対し，$n\mathbb{Z}:=\{ n x : x \in \mathbb{Z}\}$とする．このとき，$n\mathbb{Z}$は$\mathbb{Z}$のイデアルである．実際，
(1) $0=n \cdot 0 \in n\mathbb{Z}$である．
(2) 任意の$x,y \in n\mathbb{Z}$をとると，ある整数$x',y'$を使って$x=nx',y=ny'$と書ける． すると$x+y=nx'+ny'=n(x'+y')$であり，$x'+y'$は整数なので$x+y \in n\mathbb{Z}$が従う．
(3) 任意の$x =nx' \in n\mathbb{Z}$と$a \in \mathbb{Z}$をとる．すると$ax=a(nx')=n(ax')$であり，$ax'$は整数なので$ax \in n\mathbb{Z}$である．
逆に，$\mathbb{Z}$のどんなイデアル$I$もある整数$n$を用いて$I=n\mathbb{Z}$と書ける．これは後で証明するが，この性質が非常に重要になってくる．

イデアル$\langle n_1,\ldots,n_s \rangle$は，多変数の多項式環，例えば$\mathbb{R}[x,y,z]$とその多項式の連立方程式 を考えると うまく解釈できる． $f_1=xy+z^2-2,f_2=x^2-yz, f_3=xz-y^2$のとき，イデアル$\langle f_1,f_2,f_3 \rangle$は \[h_1f_1 + h_2f_2 + h_3f_3=h_1(xy+z^2-2) +h_2(x^2-yz)+h_3(xz-y^2) \] と表すことのできる多項式全体の集合である．ここで，$h_1,h_2,h_3 \in \mathbb{R}[x,y,z]$である．今， 連立方程式 $f_1=f_2=f_3=0$ を考える．これらの方程式から，代数演算を用いて 別の方程式を導くことができる． たとえば，最初の方程式と $h_1=x+y+z\in \mathbb{R}[x,y,z]$ の積をとる， 2番目の方程式と $h_2=2xz+z^3\in \mathbb{R}[x,y,z]$ の積をとる． さらに3番目の方程式と $h_3=x^2-z^2\in \mathbb{R}[x,y,z]$ の積をとる． このようにして作った式の和をとると， \[h_1f_1+h_2f_2+h_3f_3=(x+y+z)(xy+z^2-2)+(2xz+z^3)(x^2-yz)+(x^2-z^2)(xz-y^2)=0\] が成り立つ． この方程式の左辺は，まさにイデアル $\langle f_1,f_2,f_3 \rangle$ の 要素になっていることに注意する．したがって，$\langle f_1,f_2,f_3 \rangle$ は 連立方程式 $f_1=f_2=f_3=0$を満たす， 「帰結された多項式」全体 からなる集合と考えることができる．

$2$変数多項式環$\mathbb{Z}[x,y]$とそのイデアル$I=\langle x,y \rangle$を考えよう．このとき$I$には定数が含まれないことに注意する．もし$I$が単項イデアルであれば，ある多項式$f \in \mathbb{Z}[x,y]$を用いて$\langle f \rangle =I$と書ける．すると$x,y \in I$なので，$x=fg$と$y=fh$を満たす多項式$g,h \in \mathbb{Z}[x,y]$が存在するが， これから$f$は定数でないといけない．しかし，$f \in I$であり，$I$には定数が含まれないことに矛盾する．よって$\langle x,y\rangle$は単項イデアルではない．同様に，$\mathbb{Z}[x_1,\ldots,x_n]$の場合，$n \geq 2$であれば$\langle x_1,\ldots,x_n \rangle$は単項イデアルはない有限生成イデアルである．

無限変数多項式環$\mathbb{Z}[x_1,x_2,\ldots]$を考える．これは項が無限個あったり，項の中の変数が無限個あるというのではなく，各項で使っていい変数が無限個あるということである．すると通常の多項式の和と積により$\mathbb{Z}[x_1,x_2,\ldots]$は可換環となる．今，全ての変数$x_1,x_2,\ldots$を含む最小のイデアル$I=\langle x_1,x_2,\ldots \rangle$を考える（そのようなものが取れることは認める）．もし$I$が有限生成であれば有限個の多項式$f_1,\ldots,f_s \in \mathbb{Z}[x_1,x_2,\ldots]$を用いて$I=\langle f_1,\ldots,f_s\rangle$とできる．$f_1,\ldots,f_s$に現れる変数の中で添え字が最大のものを$x_k$とする．すると$x_{k+1} \notin \langle f_1,\ldots,f_s \rangle$となるが，$x_{k+1} \in I$に矛盾する．よって$I$は有限生成ではないイデアルである．