2.3：素イデアルと極大イデアル
イデアルと剰余環は密接な関係をもち，互いにその構造を反映し合っている．つまり，イデアルの性質を調べれば剰余環の構造がわかり，逆に，剰余環を調べることでイデアルの性質も明らかになる． 本節では，この関係性を「剰余環が整域あるいは体になるのはどのようなときか」を通して見ていく．そのために素イデアルという概念を導入する．定義 2.3.1
$R$を可換環とし，$I \subsetneq R$を$R$のイデアルとする．$I$が素イデアル (prime ideal)であるとは，任意の$a,b \in I$に対し，$ab \in I$ならば$a \in I$または$b \in I$が成り立つときにいう．対偶を考えると，$a \notin I$かつ$b \notin I$ならばいつでも$ab \notin I$となることと同値である．
例 2.3.2
整数環$\mathbb{Z}$とイデアル$2\mathbb{Z}$を考える．ここで$2\mathbb{Z} \subsetneq \mathbb{Z}$に注意する．もし$a$と$b$がともに奇数ならば，$ab$も奇数である．つまり$a,b \notin 2\mathbb{Z}$ならば$ab \notin 2\mathbb{Z}$が成り立つので，$2\mathbb{Z}$は素イデアルである．
またイデアル$\{0\}$を考えると，$\mathbb{Z}$は整域なので，$ab=0$であれば$a=0$または$b=0$が成り立つので$\{0\}$は素イデアルである．
一方，イデアル$6\mathbb{Z}$を考えると，$2 \cdot 3 = 6 \in 6\mathbb{Z}$であるが，$2,3 \notin 6\mathbb{Z}$であるので，$6\mathbb{Z}$は素イデアルではない．あとで見るが$n\mathbb{Z}$が素イデアルである必要十分条件は$n$が素数になることである．
素イデアルの定義を見ると，整域の定義に似ていることに気づくであろう．実際，剰余環を考えると素イデアルは整域に対応している．
定理 2.3.3
$R$を可換環，$I \subsetneq R$を$R$のイデアルとする．
このとき，$I$が素イデアルであることと$R/I$が整域であることは同値である．
証明
（$\Rightarrow$）$I$が素イデアルであると仮定する．任意の$ab +I=0+I$となる任意の$ab +I \in R/I$をとる．これは$ab-0=ab \in I$を意味する．$I$は素イデアルであるので，$a \in I$または$b \in I$が成り立つ．そこで$a \in I$としてもよい．すると$a+I=0+I$が成り立ち$R/I$が整域であることが従う．
（$\Leftarrow$）$I$が素イデアルでないと仮定する．すると$ab \in I$であるが，$a \in I$でも$b \in I$でもない元$a,b \in R$が存在する．これは，$ab+I=0+I$であるが，$a+I = 0+I$でも$b+I = 0+I$でもないことを意味する．したがって$R/I$が整域でないことがわかる．
次に極大イデアルの概念を導入する．
（$\Leftarrow$）$I$が素イデアルでないと仮定する．すると$ab \in I$であるが，$a \in I$でも$b \in I$でもない元$a,b \in R$が存在する．これは，$ab+I=0+I$であるが，$a+I = 0+I$でも$b+I = 0+I$でもないことを意味する．したがって$R/I$が整域でないことがわかる．
定義 2.3.4
$R$を可換環とし，$I \subsetneq R$を$R$のイデアルとする．$I$が極大イデアル (maximal ideal)であるとは，$I$を真に含むイデアルが$R$だけのときにいう．つまり，$J$が$I \subsetneq J \subset R$ならば$J=R$である．
例 2.3.5
整数環$\mathbb{Z}$とイデアル$2\mathbb{Z}$を考える．$2 \mathbb{Z} \subsetneq J \subset \mathbb{Z}$を満たすイデアル$J$をとると，$2k+1 \in J$を満たす整数$k$が存在する．すると$(2k+1)+(-2k)=1 \in J$となるので，$J=R$が従う．よって$2\mathbb{Z}$は極大イデアルである．一方，$\{0\}$や$6\mathbb{Z}$は$\{0\} \subsetneq 6\mathbb{Z} \subsetneq 2\mathbb{Z} \subsetneq \mathbb{Z}$となるイデアルの列が存在するので，極大イデアルではない．
ここまでで
- 極大イデアルかつ素イデアルの例（$2\mathbb{Z}$），
- 極大イデアルではないが素イデアルである例（$\{0\}$），
- 極大イデアルでも素イデアルでもない例（$6\mathbb{Z}$）
定理 2.3.6
$R$を可換環とし，$I \subsetneq R$を$R$のイデアルとする．このとき，$I$が極大イデアルであれば，$I$は素イデアルである．
証明
$ab \in I$を満たす任意の$a,b \in R$をとる．$a \notin I$のとき，$J=\langle a \rangle +I$とおくと$J$は$I$と$a$の両方を含むイデアルなので，$I \subsetneq J$である．ここで，$I$は極大イデアルであったので，$J=R$でなくてはいけない．すると$1 \in R=J=\langle a \rangle +I$より，ある$x \in R$と$y \in I$を使って$1=ax+y$と書ける．両辺に$b$を掛けると$b=abx+by$となるが，$ab, y \in I$より$b \in I$が従う．よって$I$は素イデアルである．
極大イデアルも素イデアルと同様で剰余環を使って判定できる．
定理 2.3.7
$R$を可換環，$I \subsetneq R$を$R$のイデアルとする．このとき，$I$が極大イデアルであることと，$R/I$が体であることは同値である．
証明
（$\Rightarrow$）$I$を極大イデアルとする．$a+I \neq 0 +I$を満たす任意の$a+I \in R/I$をとる．すると$a \notin I$なので，定理 2.3.6の証明から，ある$x \in R$と$y \in I$を使って$1=ax+y$と書ける．すると
\[
1+I=(ax+y)+I=(a+I)(x+I)+(y+I)=(a+I)(x+I)+(0+I)=(a+I)(x+I)
\]
となるので，$a+I$は単元である．つまり，$(R/I)^{\times}=(R/I)\setminus \{0+I\}$であるので$R/I$は体である．
（$\Leftarrow$）$I \subsetneq J$となるイデアル$J$をとる．このとき，$x \in J \setminus I$が存在する．$x \notin I$より$x+I \neq 0+I$である．$A/I$は体であるので，$(x+I)(y+I)=(1+I)$となる$y+I \in A/I$が存在する．このとき，$1+I=xy+I$なので，$1-xy \in I \subset J$である．また$x \in J$より$(1-xy)+xy =1 \in J$となるので$J=R$．したがって$I$は極大イデアルである．
このように剰余環の性質を調べるには，イデアルの性質を見ればいいことがわかる．
この関係性を元に，$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$がいつ整域や体になるかを考える．
（$\Leftarrow$）$I \subsetneq J$となるイデアル$J$をとる．このとき，$x \in J \setminus I$が存在する．$x \notin I$より$x+I \neq 0+I$である．$A/I$は体であるので，$(x+I)(y+I)=(1+I)$となる$y+I \in A/I$が存在する．このとき，$1+I=xy+I$なので，$1-xy \in I \subset J$である．また$x \in J$より$(1-xy)+xy =1 \in J$となるので$J=R$．したがって$I$は極大イデアルである．
定理 2.3.8
$n$を$2$以上の自然数とする．このとき以下は同値である．
この定理の証明のために，$n\mathbb{Z}$がいつ素イデアルや極大イデアルになるかを考える．
-
$n$は素数である．
-
$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$は体である．
-
$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$は整域である．
補題 2.3.9
$n$を$2$以上の自然数とする．
-
$n$が素数であれば$n\mathbb{Z}$は極大イデアル，特に素イデアルである．
-
$n$が合成数であれば，$n\mathbb{Z}$は素イデアルではない．特に，極大イデアルではない．
証明
(1)
$n\mathbb{Z} \subsetneq \mathbb{Z}$に注意する．
$n\mathbb{Z} \subsetneq J \subset \mathbb{Z}$となるイデアル$J$を考える．このとき$x \in J \setminus n\mathbb{Z}$が存在する．$n$は素数なので$\gcd(x,n)=1$，よってある整数$a,b$を使って$1=ax+bn$と書ける．$x, n \in J$より$1=ax+bn \in J$である．よって$J=\mathbb{Z}$なので$n\mathbb{Z}$は極大イデアルである．
(2) 仮定より$2$以上の整数$a,b$を使って$n=ab$と書ける．このとき，$ab \in n\mathbb{Z}$であるが，$a \in n\mathbb{Z}$でも$b \in n\mathbb{Z}$でもないので，$n\mathbb{Z}$は素イデアルではない．
それでは定理 2.3.8を証明する．
(2) 仮定より$2$以上の整数$a,b$を使って$n=ab$と書ける．このとき，$ab \in n\mathbb{Z}$であるが，$a \in n\mathbb{Z}$でも$b \in n\mathbb{Z}$でもないので，$n\mathbb{Z}$は素イデアルではない．
定理 2.3.8の証明
((1)$\Rightarrow$(2)) $n$を素数とすると，補題 2.3.9の(1)より$n\mathbb{Z}$は極大イデアルである．よって定理 2.3.7より$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$は体である．
((2)$\Rightarrow$(3)) これは定理 1.5.9である．
((3)$\Rightarrow$(1)) 対偶を考える．$n$を合成数とする．このとき，補題 2.3.9の(2)から$n\mathbb{Z}$は素イデアルではない．よって定理 2.3.3から$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$は整域ではない．
以上より，(1)〜(3)は同値である．
((2)$\Rightarrow$(3)) これは定理 1.5.9である．
((3)$\Rightarrow$(1)) 対偶を考える．$n$を合成数とする．このとき，補題 2.3.9の(2)から$n\mathbb{Z}$は素イデアルではない．よって定理 2.3.3から$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$は整域ではない．
以上より，(1)〜(3)は同値である．