3.2：同型写像
群のときと同様に，「同型」を定義する．これは2つの環が「環として同じ」という意味である．定義 3.2.1
$R,S$を可換環とする．写像$f:R \to S$が同型写像 (isomorphism)であるとは$f$が全単射な環準同型写像のときにいう．$R$と$S$の間に同型写像が存在するとき，$R$と$S$は同型 (isomorphic)であるといい，$R \cong S$と書く．
補足 3.2.2
群のときと同様で，$f :R \to S$が同型写像のとき，$f^{-1}:S \to R$も同型写像である．
さて，同型は「環として同じ」という意味なので，同型な環は同じ代数的性質を持つ．実際，次が成り立つ．
命題 3.2.3
$R$と$S$を同型な可換環とし，$f:R \to S$を同型写像とする．
-
$R$は整域である $\iff $$S$は整域である．
-
$R$は体である$\iff$ $S$は体である．
-
$f(R^{\times})=S^{\times}$．
証明
(1) $x\cdot_S y=0_S$を満たす任意の$x,y \in S$をとる．$f$は全射なので，$f(x')=x,f(y')=y$を満たす$x',y' \in R$が存在する．
すると
\[
f(x' \cdot_R y')=f(x')\cdot_S f(y')=x \cdot_S y=0_S=f(0_R)
\]
が成り立つ．このとき，$f$は単射であるので$x' \cdot_R y'=0_R$が従う．よって$R$は整域であるので，$x' =0_R$または$y'=0_R$が成り立つ．そこで，$x'=0_R$としてよい．すると，
\[
x=f(x')=f(0_R)=0_S
\]
となるので，$S$は整域となる．
(2) $0_S \neq x \in S$を任意に取る．$f$は全射なので，$f(x')=x$を満たす$x' \in R$が存在する．このとき， \[ f(x')=x \neq 0_S = f(0_R) \] であるので，$f$が単射であることから$x' \neq 0_R$となる．よって$R$は体であるので，$x'$は$R$の単元である．すると命題3.1.3から$f(x')=x$は$S$の単元となり，$S$が体になることがわかる．
(3) 命題3.1.3から$f(R^{\times}) \subset S^{\times}$であることが従う．逆の包含関係を示すために，任意の$x \in S^{\times}$をとる．このとき，$x \cdot_S y =1_S$を満たす$y \in S$が存在する．また$f$が全射であるので，$f(x')=x,f(y')=y$を満たす$x',y' \in R$が存在する．すると \[ f(1_R)=1_S=x \cdot_S y=f(x') \cdot_S f(y')=f(x' \cdot_R y') \] が成り立つ．よって$f$が単射であるので$1_R=x' \cdot_R y'$が成り立ち，$x' \in R^{\times}$となる．これから$x=f(x') \in f(R^{\times})$となるので，$S^{\times}\subset f(R^{\times}) $ が得られる． 以上より，$f(R^{\times}) = S^{\times}$である．
同型と非同型の環の例を見ていこう．
(2) $0_S \neq x \in S$を任意に取る．$f$は全射なので，$f(x')=x$を満たす$x' \in R$が存在する．このとき， \[ f(x')=x \neq 0_S = f(0_R) \] であるので，$f$が単射であることから$x' \neq 0_R$となる．よって$R$は体であるので，$x'$は$R$の単元である．すると命題3.1.3から$f(x')=x$は$S$の単元となり，$S$が体になることがわかる．
(3) 命題3.1.3から$f(R^{\times}) \subset S^{\times}$であることが従う．逆の包含関係を示すために，任意の$x \in S^{\times}$をとる．このとき，$x \cdot_S y =1_S$を満たす$y \in S$が存在する．また$f$が全射であるので，$f(x')=x,f(y')=y$を満たす$x',y' \in R$が存在する．すると \[ f(1_R)=1_S=x \cdot_S y=f(x') \cdot_S f(y')=f(x' \cdot_R y') \] が成り立つ．よって$f$が単射であるので$1_R=x' \cdot_R y'$が成り立ち，$x' \in R^{\times}$となる．これから$x=f(x') \in f(R^{\times})$となるので，$S^{\times}\subset f(R^{\times}) $ が得られる． 以上より，$f(R^{\times}) = S^{\times}$である．
例 3.2.4
(1) 実数体$\mathbb{R}$と複素数体$\mathbb{C}$を比べてみよう．同型写像$f: \mathbb{C} \to \mathbb{R}$が存在すると仮定しよう．$r=f(\sqrt{-1})$とおくと，
\[
r^2=f(\sqrt{-1})^2=f(-1)=-1
\]
である．しかし，$r^2=-1$を満たす実数$r$は存在しないので矛盾である．よって$\mathbb{C}$と$\mathbb{R}$の間には同型写像は存在しない．よって$\mathbb{C}$と$\mathbb{R}$は同型ではない．
(2) 次の行列の集合を考える． \[ D=\left\{ \begin{pmatrix} a & b\\-b & a \end{pmatrix} : a,b \in \mathbb{R}\right\} \subset M_2(\mathbb{R}). \] このとき，$D$は$M_2(\mathbb{R})$の可換な部分環である（$M_2(\mathbb{R})$自身は非可換である）． 今，写像$\phi:\mathbb{C} \to D$を \[a+b\sqrt{-1} \mapsto \begin{pmatrix} a & b \\-b & a \end{pmatrix}\] で定義する．ただし，$ a,b \in \mathbb{R}$である． すると，$\phi$は同型写像である（確かめよ）．したがって，$\mathbb{C} \cong D$が従う．
(2) 次の行列の集合を考える． \[ D=\left\{ \begin{pmatrix} a & b\\-b & a \end{pmatrix} : a,b \in \mathbb{R}\right\} \subset M_2(\mathbb{R}). \] このとき，$D$は$M_2(\mathbb{R})$の可換な部分環である（$M_2(\mathbb{R})$自身は非可換である）． 今，写像$\phi:\mathbb{C} \to D$を \[a+b\sqrt{-1} \mapsto \begin{pmatrix} a & b \\-b & a \end{pmatrix}\] で定義する．ただし，$ a,b \in \mathbb{R}$である． すると，$\phi$は同型写像である（確かめよ）．したがって，$\mathbb{C} \cong D$が従う．