3.3：準同型定理
群で学習した準同型定理はそのまま環の準同型定理に拡張できる．定理 3.3.1 (環の準同型定理)
$R,S$を可換環とする．
任意の環準同型写像$\phi : R \to S$に対し，
\[
\overline{\phi} : R /{\rm Ker}(\phi)\to {\rm Im}(\phi);\ a+{\rm Ker}(\phi) \mapsto \phi(a)
\]
はwell-definedな同型写像である．つまり，$R/{\rm Ker}(\phi) \cong {\rm Im}(\phi)$である．特に，$\phi$が全射の場合，$R /{\rm Ker}(\phi) \cong S$が成り立つ．
証明
群の準同型定理の証明から，示すべきことは$\overline{\phi}$が環準同型写像であること，特に，乗法に関する性質 (2)と乗法の単位元の性質 (3)だけである．
任意の$x+{\rm Ker}(\phi),y+{\rm Ker}(\phi) \in R/{\rm Ker}(\phi)$に対し，
\[\overline{\phi}((x+{\rm Ker}(\phi))(y+{\rm Ker}(\phi)))=\overline{\phi}(xy+{\rm Ker}(\phi))=\phi(xy)=\phi(x)\phi(y)=\overline{\phi}(x+{\rm Ker}(\phi))\overline{\phi}(y+{\rm Ker}(\phi))
\]
である．
また
\[
\overline{\phi}(1_R+{\rm Ker}(\phi))=\phi(1_R)=1_S
\]
であるので，証明が完了した．
準同型写像の使用例を紹介する．
例 3.3.2
$\mathbb{C}$と$\mathbb{R}[x]/\langle x^2 +1 \rangle$が同型であることを見る．
まず，写像$\phi : \mathbb{R}[x] \to \mathbb{C}$を$f(x) \mapsto f(\sqrt{-1})$で定義する．これは代入写像なので準同型写像である．また$\phi$は全射である．実際，任意の$a+b\sqrt{-1} \in \mathbb{C}$（$a,b \in \mathbb{R}$）に対し，$f(x)=a+bx \in \mathbb{R}[x]$とすると，$\phi(f(x))=f(\sqrt{-1})=a+b\sqrt{-1}$であることから従う．さらに${\rm Ker}(\phi)=\langle x^2 +1 \rangle$である．実際，${\rm Ker}(\phi)$は$\sqrt{-1}$（と$-\sqrt{-1}$）を根に持つ$\mathbb{R}[x]$の多項式全体の集合であることから従う．
すると，準同型定理から
\[
\mathbb{R}[x]/\langle x^2 +1 \rangle = \mathbb{R}[x]/{\rm Ker}(\phi) \cong \mathbb{C}
\]
がわかる．