3.4：中国式剰余定理
群に関する中国式剰余定理を思い出そう．定理 3.4.1 (中国式剰余定理 (群版))
$m,n$を互いに素な自然数とする．
このとき，「群として」
\[
\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z} / m\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}
\]
である．
「群として」と書いているのは，群では加法のみ考えていたので，乗法に関して同じ構造を持つかわからないからである．しかし，これは「環として」同型であると拡張できる．ここでは，中国式剰余定理をより一般の形で証明する．まずは「互いに素」という概念をイデアルに導入する．
定義 3.4.2
$R$を可換環とする．$R$のイデアル$I,J$が$I+J=R$を満たすとき，$I,J$は互いに素であるという．
$m,n$が互いに素な自然数であれば，$m\mathbb{Z}$と$n\mathbb{Z}$は互いに素である．実際，
$m,n$は互いに素なので，$am+bn=1$を満たす整数$a,b \in \mathbb{Z}$が存在する．したがって，$1 \in m\mathbb{Z}+n\mathbb{Z}$がわかり，$m\mathbb{Z}+n\mathbb{Z}=\mathbb{Z}$が従う．
これを用いて中国式剰余定理を一般化する．
定理 3.4.3 (中国式剰余定理 (一般))
$R$を可換環とし，$I,J$を互いに素な$R$のイデアルとする．このとき，
\[
R/IJ \cong R/I \times R/J
\]
である．
この定理の証明のために次の補題を証明する．
補題 3.4.4
$R$を可換環とし，$I,J$を互いに素な$R$のイデアルとする．このとき，
$IJ = I \cap J$である．
証明
$I \cap J=(I \cap J)R=(I\cap J)(I+J) \subset IJ \subset I+J$から従う．
定理 3.4.3の証明
補題 3.4.4から$R/IJ=R/(I \cap J)$である．
今，写像$f:R/(I \cap J) \to R/I \times R/J$を
\[
x+(I \cap J) \mapsto (x+I,x+J)
\]
で定義する．これはwell-definedな準同型写像である．
実際，$x+(I\cap J)=y+(I \cap J)$となる，$x,y \in R$をとる．このとき，$x-y \in I \cap J$である．したがって，$x+I = y+I$かつ$x+J = y+J$が成り立つ．よって$f(x+(I \cap J))=(x+I,x+J)=(y+I,y+J)=f(y+(I \cap J))$なので，$f$はwell-definedである．また$f$が準同型写像であることは容易に示せる．
したがって，$f$が全単射であれば定理の主張が成り立つ．
$x+(I\cap J)\neq y+(I \cap J)$となる，$x,y \in R$をとる．このとき，$x-y \notin I \cap J$である．すると，$x-y \notin I$または$x-y \notin J$が成り立つ．つまり，$x+I \neq y+I$または$x+J \neq y+J$が成り立つので，
\[
f(x+(I \cap J))=(x+I,x+J) \neq (y+I,y+J) = f(y+(I \cap J))
\]
である．よって，$f$は単射である．
一方，任意の$(r+I,s+J) \in R/I \times R/J$をとる．$I+J=R$から$a+b=1 \in R$となる$a \in I$と$b \in J$が存在する．
このとき，$x=rb+sa$とすると，$rb+sa-r=r(1-a)+sa-r=(s-r)a \in I$から$r+I=x+I$である．同様に，$s+J=x+J$がわかる．
したがって，
\[
f(x+(I \cap J))=(x+I,x+J)=(r+I,s+J)
\]
であるので，$f$は全射である．
以上より，$f$は同型写像であるので，定理の証明が完了した．
系 3.4.5 (中国式剰余定理（環論版）)
$m,n$を互いに素な自然数とする．
このとき，「環として」
\[
\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z} / m\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}
\]
である．