4.1：ユークリッド整域
まず考える概念は「剰余の定理」，つまり「余りを考慮した割り算」を整域に導入することである．このような割り算の仕組みが備わっている整域をユークリッド整域という．定義 4.1.1
整域$R$と関数$\delta : R \setminus \{0\} \to \mathbb{Z}_{\geq 0}$が以下の条件を満たすとき，組$(R,\delta)$（または単に$R$）をユークリッド整域といい，関数$\delta$をユークリッド関数という：
元$a \in R$と元$0 \neq b \in R$に対し，元$q,r \in R$で条件
元$a \in R$と元$0 \neq b \in R$に対し，元$q,r \in R$で条件
-
$a=bq+r$，
-
$r=0$または$\delta(r) \lt \delta(b)$
例 4.1.2
$R=\mathbb{Z}$とし$\delta(x)=|x|$と定義すれば，$\delta$の条件は剰余の定理に他ならない．
よってこの関数のもと，$\mathbb{Z}$はユークリッド整域である．
それでは体上の多項式環（例えば$\mathbb{R}[x]$）がユークリッド整域となることを見ていく．これは多項式環に対して剰余の定理が成り立つことを示せばよい．
定理 4.1.3
$R$を体とする．このとき，多項式$f \in R[x]$と多項式$0 \neq g \in R[x]$に対し，多項式$q,r \in R[x]$で条件
-
$f=gq+r$，
-
$\deg(r) \lt\deg (g)$
証明
$g=b_0+b_1 x + \cdots +b_d x^d \in R[x]$とする．ただし，$b_d \neq 0$である．$R$は体であるので，$b_d$は単元である．つまり，$b_d^{-1}$が存在する．
（存在） $f=0$の場合は$r=q=0$とすればよいことに注意する（$\deg(0)=-\infty$であった）． $\deg(g)=d=0$の場合は$q=b_0^{-1} g$と$r=0$とすれば条件を満たす．$d \geq 1$かつ$f \neq 0$の場合を$e=\deg(f)$に関する帰納法で証明する．
(i) $e \lt d$の場合は$q=0$と$r=g$とすれば条件を満たす．特に，$e=0$のときに成り立つ．
(ii) $e-1$まで正しいと仮定する．(i)より$e \geq d$としてよい．今，$f=a_0+a_1x+\cdots+a_e x^e$と表し， \[ h=f-a_e b_d^{-1} g x^{e-d} \] とおく．このとき，右辺では$x^e$の項が消えるので，$\deg(h) \leq e-1$である．よって帰納法の仮定から\[ h=q_0 g+r_0, \deg(r_0) \lt \deg(g) \] を満たす$q,r \in R[x]$が存在する．このとき， \[ f=h+a_e b_d^{-1} g x^{e-d}=(q_0+a_eb_d^{-1})g+r_0 \] であり，$\deg(r_0) \lt \deg(g)$であったので，$q_0+a_eb_d^{-1},r_0 \in R[x]$は$f$に関して(1)と(2)の条件を満たす．よって$e$のときも成り立つことがわかった．
（一意性）多項式の組$(q,r)$と$(q',r')$が$f$に関して条件(1)と(2)を満たすとする．つまり， \begin{align*} &f=gq+r, \deg(r) \lt \deg(g),\\ &f=gq'+r', \deg(r') \lt\deg(g) \end{align*} が成り立つとする． このとき， \[ (q-q')g=r'-r \] となる．$q-q' \neq 0$と仮定すると， \[ \deg(g) \leq \deg(g)+\deg(q-q') =\deg(g(q-q'))=\deg(r'-r) \leq \max(\deg(r),\deg(r')) \] を得る．これは$\deg(r),\deg(r') \lt \deg(g)$に矛盾する．よって$q-q'=0$，つまり$q=q'$となり，$r=r'$も成り立つ． したがって，一意性が示された．
（存在） $f=0$の場合は$r=q=0$とすればよいことに注意する（$\deg(0)=-\infty$であった）． $\deg(g)=d=0$の場合は$q=b_0^{-1} g$と$r=0$とすれば条件を満たす．$d \geq 1$かつ$f \neq 0$の場合を$e=\deg(f)$に関する帰納法で証明する．
(i) $e \lt d$の場合は$q=0$と$r=g$とすれば条件を満たす．特に，$e=0$のときに成り立つ．
(ii) $e-1$まで正しいと仮定する．(i)より$e \geq d$としてよい．今，$f=a_0+a_1x+\cdots+a_e x^e$と表し， \[ h=f-a_e b_d^{-1} g x^{e-d} \] とおく．このとき，右辺では$x^e$の項が消えるので，$\deg(h) \leq e-1$である．よって帰納法の仮定から\[ h=q_0 g+r_0, \deg(r_0) \lt \deg(g) \] を満たす$q,r \in R[x]$が存在する．このとき， \[ f=h+a_e b_d^{-1} g x^{e-d}=(q_0+a_eb_d^{-1})g+r_0 \] であり，$\deg(r_0) \lt \deg(g)$であったので，$q_0+a_eb_d^{-1},r_0 \in R[x]$は$f$に関して(1)と(2)の条件を満たす．よって$e$のときも成り立つことがわかった．
（一意性）多項式の組$(q,r)$と$(q',r')$が$f$に関して条件(1)と(2)を満たすとする．つまり， \begin{align*} &f=gq+r, \deg(r) \lt \deg(g),\\ &f=gq'+r', \deg(r') \lt\deg(g) \end{align*} が成り立つとする． このとき， \[ (q-q')g=r'-r \] となる．$q-q' \neq 0$と仮定すると， \[ \deg(g) \leq \deg(g)+\deg(q-q') =\deg(g(q-q'))=\deg(r'-r) \leq \max(\deg(r),\deg(r')) \] を得る．これは$\deg(r),\deg(r') \lt \deg(g)$に矛盾する．よって$q-q'=0$，つまり$q=q'$となり，$r=r'$も成り立つ． したがって，一意性が示された．
系 4.1.4
$R$を体とし，関数$\delta:R[x]\setminus\{0\} \to \mathbb{Z}_{\geq 0}$を$\delta(f)=\deg(f)$で定義する．このとき，$(R[x],\delta)$はユークリッド整域である．