4.2：単項イデアル整域
次に全てのイデアルが単項イデアルとなる環を考えていこう．定義 4.2.1
$R$を整域とする．$R$の任意のイデアルが単項イデアル，つまり，任意のイデアル $I \subset R$ に対し，ある元 $a \in R$ が存在して $I = \langle a \rangle = \{ ax : x \in R \}$ と書けるとき，$R$を単項イデアル整域（Principal Ideal Domain, PID）という．
例えば，$\mathbb{Z}$は単項イデアル整域である．実は，ユークリッド整域はいつでも単項イデアル整域である．
定理 4.2.2
ユークリッド整域は単項イデアル整域である．
証明
$(R,\delta)$を任意のユークリッド整域とし，$I$を$R$の任意のイデアルとする．もし$I=0$なら$I=\langle 0 \rangle$なので単項イデアルである．よって$I \neq 0$と仮定してよい．このとき，元$a \in I \setminus\{0\}$がとれることに注意する．すると$\delta(I \setminus \{0\}) \subset \mathbb{Z}_{\geq 0}$であるので，$\delta(I \setminus \{0\})$は最小値$d_0$を持つ．そこで$\delta(a)=d_0$を満たす$a \in I \setminus \{0\}$をとる．
$I=\langle a \rangle$となることを示す．$a \in I$とイデアルの性質より$\langle a \rangle \subset I$が従う．そこで，$x \in I \setminus \langle a \rangle$が存在したと仮定する．$a \neq 0$であり，$(R,\delta)$がユークリッド整域であるので，$q, r \in R$を用いて$x=aq+r$と書くことができる．ただし，$r=0$または$\delta(r) < \delta(a)$である．もし$r=0$ならば，$x=aq \in \langle a \rangle$なので仮定に矛盾する．よって$r \neq 0$かつ$\delta(r) < \delta(a)=d_0$である．しかし，これは$d_0$の最小性に矛盾する．以上より，$I=\langle a \rangle$が従い，$R$は単項イデアル整域である．
体$R$に対し，$R[x]$がユークリッド環となることから次の系が得られる．
$I=\langle a \rangle$となることを示す．$a \in I$とイデアルの性質より$\langle a \rangle \subset I$が従う．そこで，$x \in I \setminus \langle a \rangle$が存在したと仮定する．$a \neq 0$であり，$(R,\delta)$がユークリッド整域であるので，$q, r \in R$を用いて$x=aq+r$と書くことができる．ただし，$r=0$または$\delta(r) < \delta(a)$である．もし$r=0$ならば，$x=aq \in \langle a \rangle$なので仮定に矛盾する．よって$r \neq 0$かつ$\delta(r) < \delta(a)=d_0$である．しかし，これは$d_0$の最小性に矛盾する．以上より，$I=\langle a \rangle$が従い，$R$は単項イデアル整域である．
系 4.2.3
$R$を体とする．このとき，$R[x]$は単項イデアル整域である．