(1) $a=bc$と書けたとする．このとき，$bc \in \langle a \rangle$であり，$\langle a \rangle$は素イデアルであるので，$b$または$c$は$\langle a \rangle$の元である．$b \in \langle a \rangle$としよう．すると$x \in R$を用いて$b=ax$と書ける． よって \[ a=bc=axc \] となるので，$a(1-xc)=0$が成り立つ．$R$は整域であるので，$a=0$または$1-xc=0$が成り立つが，$a \neq 0$より$1-xc=0$，つまり$xc=1$となる．これは$c$が単元であることを意味するので，$a$は既約元である．
(2) $a$が単元なら，$a^{-1}$が存在して，$1=a \cdot a^{-1} \in \langle a\rangle$であり，$\langle a \rangle = R$となるので，$\langle a \rangle$は素イデアルではない．よって$a$は素元ではない．

$s$に関する帰納法で示す．$s=1$のとき，$a=p_1=q_1\cdots q_t$である．$p_1$は素元なので，既約元である．したがって，$t \geq 2$ならば，$q_1$または$q_2 \cdots q_t$は単元となる．すると，$q_1$は素元であるので，$q_2 \cdots q_t$が単元となる．よってある$u \in R^{\times}$を用いて$1=u(q_2\cdots q_t)=(uq_2\cdots q_{t-1}) q_t $と書けるが，$q_t$が単元となり矛盾する．したがって$t=1$であり，特に，$p_1=q_2$から$p_1 \sim q_1$である． そこで$s \geq 2$と仮定し，$s-1$まで正しいとする．$p_s$は素元なので，$q_1\cdots q_t \in \langle p_s \rangle$から$q_j \in \langle p_s \rangle$となる$j$が存在する（演習問題）．$j=t$としてよい．するとある元$u \in R$を用いて$q_t=up_s$と表せる．$q_t$は既約元であるので，$u$または$p_s$が単元となるが，$p_s$が素元であるので，$u$が単元となる．よって$p_s \sim q_t$である．また \[ p_1 \cdots p_{s-1} p_s = q_1 \cdots q_{t-1} u p_s \] であり，$R$が整域かつ$p_s \neq 0$から簡約律により \[ p_1 \cdots p_{s-1} = q_1 \cdots q_{t-1} u =q_1 \cdots q_{t-2} (uq_{t-1}) \] が得られる．帰納法の仮定により，$s-1=t-1$，つまり$s=t$であり，$p_1,\ldots,p_{s-1}$の順番を入れ替えると，$1 \leq i \leq s-2$に対して，$p_i \sim q_i$かつ$p_{s-1} \sim uq_{t-1} \sim q_{t-1}$となる．これに$p_s \sim q_t$を追加することで，定理の主張が示された．

$a$が既約元のときに，素元となることを示せばよい． そのために，$\langle a \rangle$が極大イデアルとなることを示す．$\langle a \rangle \subset I \subsetneq R$となるイデアル$I$をとる． $R$は単項イデアル整域であるので，単元ではない元$d \in R$を用いて$I=\langle d \rangle$と書ける． すると$a \in I$なので，$u \in R$を用いて$a=ud$と書ける．このとき，$a$は既約元であるので，$u$または$d$は単元であるが，$d$は単元でないので$u$が単元となる．よって$d=au^{-1}$と書ける． 今，任意の$x \in I$をとると，ある$y \in R$を用いて$x=dy$と書ける．このとき， \[ x=dy=(a u^{-1})y=a(u^{-1}y) \in \langle a \rangle \] であるので$\langle a \rangle =I$が成り立つ．よって$\langle a \rangle$は極大イデアルである．特に素イデアルとなるので，$a$は素元である．

$I=\bigcup_{k=1}^{\infty} I_k$とおく．このとき，$I$は$R$のイデアルである（演習問題）．$R$は単項イデアル整域であるので，ある元$d$を用いて$I=\langle d \rangle$と書ける．このとき，$d \in I$なので，ある整数$n$で$d \in I_n$となるものが存在する．よって \[ I=\langle d \rangle \subset I_n \subset I_{n+1} \subset I_{n+2} \subset \cdots \subset I \] より， \[ I_{n}=I_{n+1}=I_{n+2}=\cdots \] が従う．

$R$を単項イデアル整域とし，$a \in R$を$0$でも単元でもない元とする．補題 4.3.7より$a$が有限個の既約元の積で表せることを示せばよい．$a$が有限個の既約元の積で表せないと仮定する．すると，$a$は既約元ではないので，$a=bc$で$b$も$c$も単元とならないものが存在する．このとき，$b, c \neq a$である．すると \[ \langle a \rangle \subsetneq \langle b \rangle , \langle c \rangle \] が成り立つ．もし$b$と$c$がともに既約元の積で表せると，$a$が既約元の積で表せないことに矛盾する．そこで$a_1=b$が既約元の積で表せないとする．すると同様の議論により，既約元の積で表せない元$a_2$が存在して \[ \langle a \rangle \subsetneq \langle a_1 \rangle \subsetneq \langle a_2 \rangle \] が成り立つ．これを繰り返すと$R$のイデアルの真の無限増加列 \[ \langle a \rangle \subsetneq \langle a_1 \rangle \subsetneq \langle a_2 \rangle \subsetneq \langle a_3 \rangle \subsetneq \] が得られるが，補題 4.3.8に矛盾する．よって$a$が有限個の既約元の積で表せることがわかり，$R$が一意分解整域であることが従う．

$\dfrac{x}{y}$を実数化したとき$\alpha +\beta\sqrt{-1}$となったとする．ここで，$\alpha,\beta \in \mathbb{R}$である． また$|\alpha-a|, |\beta-b| \leq \dfrac{1}{2}$となる整数$a,b \in \mathbb{Z}$をとり，$q=a+b\sqrt{-1}$とおく．このとき，$q \in \mathbb{Z}[\sqrt{-1}]$であり，さらに \[ \left| \dfrac{x}{y}-q \right|^2=(\alpha-a)^2+(\beta-b)^2\leq \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\lt 1 \]である． $r=x-yq$とおくと，$r \in \mathbb{Z}[\sqrt{-1}]$かつ$x=yq+r$である． すると， \[ N(r)=|r|^2=|x-yq|^2=|y|^2 \cdot \left|\dfrac{x}{y}-y\right|^2 \lt |y|^2=N(y) \] である．よって補題の主張が成り立つことがわかった．