1回目：凸多面体
この節では，本講義の主な対象である一般次元の凸多面体を定義する． $\mathbb{R}^N$を$N$次元ユークリッド空間とし，$\mathbb{R}^N$内の点$\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_N),\mathbf{y}=(y_1,\ldots,y_N)$の内積を$\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle=x_1 y_1+\cdots+x_N y_N$で定義し，その２点間の距離を$|\mathbf{x} -\mathbf{y}|=\sqrt{ \langle \mathbf{x}-\mathbf{y}, \mathbf{x}-\mathbf{y} \rangle}$で定義する． またその２点を結ぶ線分とは，$\mathbb{R}^N$の部分集合 \[ [\mathbf{x},\mathbf{y}]=\{\lambda \mathbf{x} + (1-\lambda) \mathbf{y} : 0 \leq \lambda \leq 1\} \] のことである．定義 1.1
$\mathbb{R}^N$の空でない部分集合$\mathcal{A}$が凸集合 (convex set)であるとは，任意の$\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathcal{A}$に対し，$[\mathbf{x},\mathbf{y}]$が$\mathcal{A}$に含まれるときにいう．
例 1.2
(1)
点$\mathbf{a}=(a_1,\ldots,a_N) \in \mathbb{R}^N$を中心とする半径$r>0$の$N$球体
\[
\mathbb{B}_r(\mathbf{a})=\{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^N : |\mathbf{x}-\mathbf{a}| \leq r\}
\]
は凸集合である．
(2) 点$\mathbf{a}=(a_1,\ldots,a_N) \in \mathbb{R}^N$を中心とする半径$r>0$の$N-1$球面 \[ \mathbb{S}_r(\mathbf{a})=\{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^N : |\mathbf{x}-\mathbf{a}| = r\} \] は凸集合ではない．
空間$\mathbb{R}^N$の凸集合$\mathcal{A} \subset \mathbb{R}^N$が有界であるとは，十分大きい$r > 0$に対し，
\[
\mathcal{A} \subset \mathbb{B}_r ({\bf 0})
\]
となるときにいう．ここで，${\bf 0}=(0,\ldots,0) \in \mathbb{R}^N$は
$\mathbb{R}^N$の原点である．
(2) 点$\mathbf{a}=(a_1,\ldots,a_N) \in \mathbb{R}^N$を中心とする半径$r>0$の$N-1$球面 \[ \mathbb{S}_r(\mathbf{a})=\{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^N : |\mathbf{x}-\mathbf{a}| = r\} \] は凸集合ではない．
補題 1.3
空間$\mathbb{R}^N$の空でない凸集合の族$\{\mathcal{A}_i\}_{i \in I}$を考える．このとき，
\[
\mathcal{A} = \bigcap_{i \in I} \mathcal{A}_i
\]
は凸集合である．
例えば，複数の円を書いたとき，重なっている部分は凸集合となっている．
この補題より次の系が従う．
系 1.4
空間$\mathbb{R}^N$の空でない部分集合$V$に対し，$V$を含む最小の凸集合が存在する．
つまり凸集合$V \subset \mathcal{A}$で，任意の凸集合$V \subset \mathcal{B}$に対し，$\mathcal{A} \subset \mathcal{B}$となるものが存在する．
$V$を含む最小の凸集合を${\rm conv}(V)$で表し，$V$の凸閉包という．
例えば，${\rm conv}(\mathbb{S}_r(\mathbf{a}))=\mathbb{B}_r(\mathbf{a})$である．
$V$が有限集合の場合は次の表示を持つ．
定理 1.5
空間$\mathbb{R}^N$の空でない有限集合$V=\{\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_s\} \subset \mathbb{R}^N$に対し，
\[
{\rm conv}(V)=\left\{ \sum_{i=1}^s \lambda_i \mathbf{a}_i : \lambda_i \geq 0, \sum_{i=1}^s \lambda_i=1 \right\}
\]
である．
特に，${\rm conv}(V)$は有界である．
定義 1.6
空間$\mathbb{R}^N$の集合$\mathcal{P}$が凸多面体であるとは，有限集合$V \subset \mathbb{R}^N$で$\mathcal{P}={\rm conv}(V)$となるものが存在するときにいう．
凸多角形や$3$次元空間の通常の凸多面体$\mathcal{P}$を考えると，それぞれ頂点を$V$とすれば，$\mathcal{P}= {\rm conv}(V)$となっていることがわかるであろう．一方，球体は有限集合の凸閉包で表すことができない（少なくとも球面の全ての点が必要）ので，凸多面体ではない．
一般の凸多面体の頂点は次の補題から定義できる．
補題 1.7
凸多面体$\mathcal{P} \subset \mathbb{R}^N$に対し，最小の有限集合$V \subset \mathbb{R}^N$で$\mathcal{P}={\rm conv}(V)$となるものが存在する．
この有限集合$V$を$\mathcal{P}$の頂点集合といい，各点を頂点という．
次に凸多面体の次元を定義する．
空間$\mathbb{R}^N$の点$\mathbf{a}_0,\ldots,\mathbf{a}_s$がアフィン独立であるとは，
\[
\begin{cases}
\lambda_0 \mathbf{a}_0 + \lambda_1 \mathbf{a}_1 + \cdots + \lambda_s \mathbf{a}_s = {\bf 0},\\
\lambda_0+\lambda_1+\cdots+\lambda_s=0,\\
\lambda_0,\lambda_1,\ldots,\lambda_s \in \mathbb{R}
\end{cases}
\]
ならば
\[
\lambda_0=\lambda_1=\cdots=\lambda_s = 0
\]
となるときにいう．これは$\mathbf{a}_1-\mathbf{a}_0,\mathbf{a}_2-\mathbf{a}_0,\ldots,\mathbf{a}_s-\mathbf{a}_0$が一次独立と同値である．
空間$\mathbb{R}^n$のアフィン部分空間 (affine subspace)とは,
$\mathbb{R}^n$の線形部分空間を平行移動したもの，つまり，線形部分空間$W \subset \mathbb{R}^N$と点$\mathbf{a} \in \mathbb{R}^N$に対し，
\[
W+\mathbf{a} =\{ \mathbf{w} + \mathbf{a} : \mathbf{w} \in W\}
\]
と表される集合である．
例えば，$\mathbb{R}^2$において，直線が線形部分空間となるのは原点を通るときのみであるが，直線はすべてアフィン部分空間である．
空でない集合$\mathcal{A} \subset \mathbb{R}^N$に対し，1点$\mathbf{a} \in \mathcal{A}$をとり，$\mathcal{A} - \mathbf{a}$が張る$\mathbb{R}^N$の線形部分空間$W={\rm span}(\mathcal{A} - \mathbf{a})$を考え，$X= W+ \mathbf{a}$とすると，$X$は$\mathcal{A}$を含む最小のアフィン部分空間である．これを${\rm aff}(\mathcal{A})$と書く． すると次のような表示を持つ．
命題 1.8
空でない集合$\mathcal{A} \subset \mathbb{R}^N$に対し，
\[{\rm aff}(\mathcal{A})= \left\{ \sum_{i=1}^{s} \lambda_i \mathbf{a}_i : \mathbf{a}_i \in \mathcal{A}, \lambda_i \in \mathbb{R}, \sum_{i=1}^s \lambda_i = 1 \right\}
\]
となる．
点$\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_s \in \mathbb{R}^N$に対し，$\lambda_i \in \mathbb{R}, \sum_{i=1}^s \lambda_i = 1$を満たす$\sum_{i=1}^{s} \lambda_i \mathbf{a}_i$のことを$\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_s$のアフィン結合という．つまり${\rm aff}(\mathcal{A})$は$\mathcal{A}$のアフィン結合全体からなる集合である．${\rm span}(\mathcal{A}-\mathbf{a})$が$\mathcal{A}-\mathbf{a}$の線型結合全体からなる集合だったことを考えると想像しやすい．
アフィン部分空間$A=W + \mathbf{a} \subset \mathbb{R}^N$に含まれるアフィン独立な点の個数の最大値を$d+1$としたとき，$d$を$A$の次元 (dimension)と定義する． このとき，$A$が$d$次元であることと，$W$が線型空間として$d$次元となることは同値である．線形空間の基底の性質を考えると，次の命題が得られる．
命題 1.9
アフィン独立な点の集合$\mathcal{A}=\{\mathbf{a}_0,\ldots,\mathbf{a}_s\} \subset \mathbb{R}^N$に対し，任意の点$\mathbf{x} \in {\rm aff}(\mathcal{A})$は
\[
\mathbf{x}=\sum_{i=0}^s \lambda_i \mathbf{a}_i, \ \ \ \lambda_i \in \mathbb{R}, \ \ \ \sum_{i=0}^s \lambda_i=1
\]
なる一意的な表示を持つ．
凸多面体$\mathcal{P}$の次元を${\rm aff}(\mathcal{P})$の次元で定義する．つまり，$\mathcal{P}$を含む最小のアフィン部分空間の次元が凸多面体の次元である．
例えば，$\mathbb{R}^3$空間においても凸多角形は$2$次元であることがわかる．
またどんな$\mathcal{P}$の点も頂点のアフィン結合で書けるため，$d$次元凸多面体$\mathcal{P}$は$d+1$個のアフィン独立な頂点を持つ．つまり$\mathcal{P}$は少なくとも$d+1$個の頂点を持つ．頂点の個数がちょうど$d+1$個の$d$次元凸多面体のことを$d$単体 ($d$-simplex)という．
命題 1.9から単体の各点は頂点を使って，一意的な表示を持つ．また内点も同様の表示を持つ．ここで，凸多面体$\mathcal{P} \subset \mathbb{R}^N$の（相対）内部 ((relative) interior)とは， 距離空間$\mathbb{R}^N$の部分空間${\rm aff} (\mathcal{P})$における$\mathcal{P}$の内部${\rm int}(\mathcal{P})$のことであり，内部の点のことを内点と呼ぶ．
命題 1.10
$\mathcal{P} \subset \mathbb{R}^N$を$d$単体とし，その頂点集合を$\{\mathbf{a}_0,\ldots,\mathbf{a}_d\}$
とする．このとき，
任意の点$\mathbf{x} \in \mathcal{P}$と$\mathbf{y} \in {\rm int}(\mathcal{P})$は
\[
\mathbf{x}=\sum_{i=0}^d \lambda_i \mathbf{a}_i, \ \ \ \lambda_i \geq 0, \ \ \ \sum_{i=0}^d \lambda_i=1
\]
\[
\mathbf{y}=\sum_{i=0}^d \mu_i \mathbf{a}_i, \ \ \ \mu_i >0, \ \ \ \sum_{i=0}^d \mu_i=1
\]
なる一意的な表示を持つ．
最後に，いくつか凸多面体の代表的な例を挙げる．
次元$d-1$の凸多面体$\mathcal{Q} \subset \mathbb{R}^N$と$\mathbb{R}^N$の点$\mathbf{a} \notin {\rm aff}(\mathcal{Q})$の和集合の凸閉包
\[
{\rm conv}(\mathcal{Q} \cup \{ \mathbf{a} \} ) \subset \mathbb{R}^N
\]
を，$\mathcal{Q}$を底とし，$\mathbf{a}$を頂上 (apex)とする角錐 (pyramid)という．
このとき角錐は$d$次元となる．たとえば，$d$単体は$(d-1)$単体を底とする角錐である．特に，単体は全ての頂点を角錐の頂上としてみなすことができる．
一方，次元$d-1$の凸多面体$\mathcal{Q} \subset \mathbb{R}^N$とその平行移動$\mathcal{Q} + \mathbf{a}$ (ただし$(\mathcal{Q}+\mathbf{a}) \cap {\rm aff}(\mathcal{Q}) = \emptyset$)の和集合の凸閉包
\[
{\rm conv}(\mathcal{Q} \cup ( \mathcal{Q} + \mathbf{a} )) \subset \mathbb{R}^N
\]
を，$\mathcal{Q}$を底とする角柱 (prism)という．このとき角柱は$d$次元となる．
線形変換$\phi : \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}^N$と点$\mathbf{a} \in \mathbb{R}^N$に対し，
写像$\psi : \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}^N$を
\[
\psi(\mathbf{x}) = \phi (\mathbf{x}) + \mathbf{a}, \ \ \ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^N
\]
で定義する．つまり$\psi$は線型変換と平行移動の合成写像である．
この写像$\psi$を$\mathbb{R}^N$のアフィン変換 (affine transpose)という．
このとき，$A$が$d$次元アフィン部分空間であれば，像$\psi(A)$も$d$次元アフィン部分空間であり，
特に，$\mathcal{P}$が$d$次元凸多面体であれば，$\psi (\mathcal{P})$も$d$次元凸多面体である．
凸多面体の議論においては，$\psi({\rm aff} (\mathcal{P})) = \mathbb{R}^d \subset \mathbb{R}^N$となる適当なアフィン変換を考え，$\mathcal{P}$と$\psi(\mathcal{P})$を同一視することで，
$N=d$（$\mathcal{P}$がfull-dimensional）として議論することができる．