5回目：Ehrhart多項式
格子凸多面体 (lattice polytope) $\mathcal{P} \subset \mathbb{R}^N$とは全ての頂点の成分が整数，つまり$\mathbb{Z}^N$の点となる凸多面体のことをいう． 2次元の格子凸多面体，つまり格子凸多角形の面積は，その多角形に含まれる格子点を数え上げることで求めることができる．その定理をピックの定理と呼ぶ．定理 5.1 (Pickの定理)
格子凸多角形$\mathcal{P} \subset \mathbb{R}^2$に対し，
\[
\mbox{$\mathcal{P}$の面積}=|{\rm int}(\mathcal{P}) \cap \mathbb{Z}^2|+\frac{1}{2}|\partial \mathcal{P} \cap \mathbb{Z}^2 |-1
\]
である．
証明は離散数学（6回目）を参照．
しかし，$3$次元以上の凸多面体の場合，その体積は自身に含まれる格子点を数え上げるだけでは求まらない．
例 5.2
自然数$m$に対し，$\mathcal{P}_m \subset \mathbb{R}^3$を$(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(1,1,m)$を頂点とする$3$単体とする．このとき，$m$の値によらず${\rm int}(\mathcal{P}_m) \cap \mathbb{Z}^3 =\emptyset$，つまり$|{\rm int}(\mathcal{P}_m) \cap \mathbb{Z}^3|=0$であり，$\mathcal{P}_m$の境界に含まれる格子点は頂点のみ，つまり$|\partial \mathcal{P}_m \cap \mathbb{Z}^3|=4$である．よって，$\mathcal{P}_m$に含まれる格子点の個数は一定である．しかし，$\mathcal{P}_m$の体積は$m/6$であるので，$2$次元の場合と違い，$\mathcal{P}_m$に含まれる格子点の個数だけではその体積は求まらない．
Pickの定理を$3$次元以上に拡張するために，格子凸多面体の``膨らまし"を考える．
つまり，格子凸多面体$\mathcal{P} \subset \mathbb{R}^N$と正の整数$n$に対して，
$\mathcal{P}$を$n$倍に膨らました凸多面体
\[
n\mathcal{P} := \{ n \mathbf{x} : \mathbf{x} \in \mathcal{P}\}
\]
を考える．この$n\mathcal{P}$に含まれる格子点の個数を
\[
L_{\mathcal{P}}(n):=| n\mathcal{P} \cap \mathbb{Z}^N|,
\]
その内部に含まれる格子点の個数を
\[
L^*_{\mathcal{P}}(n):= |{\rm int}(n\mathcal{P}) \cap \mathbb{Z}^N|
\]
で表す．
定理 5.3 (Ehrhartの基本定理)
$\mathcal{P} \subset \mathbb{R}^N$を$d$次元格子凸多面体とする．
このとき，$L_{\mathcal{P}}(n)$は定数項を$1$とする$n$に関する$d$次多項式である．
さらに
\begin{equation}\label{ehrhart-macdonald}
L^*_{\mathcal{P}}(n)=(-1)^d L_{\mathcal{P}}(-n), \ \ n=1,2,3,\ldots \cdots\cdots (3)
\end{equation}
が成り立つ．
この定理から多項式$L_{\mathcal{P}}(n)$のことを，$\mathcal{P}$のEhrhart多項式と呼ぶ．
証明の前にまず，この結果から得られる系を紹介する．
系 5.4
$d=N$ならば，$\mathcal{P}$の体積は$L_{\mathcal{P}}(n)$の$n^d$の係数と一致する．
証明
正の整数$n$に対し，
\[
\left(\frac{\mathbb{Z}}{n} \right)^d= \left\{ \left(\frac{a_1}{n},\ldots,\frac{a_d}{n} \right) : a_i \in \mathbb{Z} \right\}
\]
とすると，
\[
|n\mathcal{P} \cap \mathbb{Z}^d|= \left|\mathcal{P} \cap \left(\frac{\mathbb{Z}}{n} \right)^d \right|
\]
であることは容易にわかる．
$\mathcal{P} \cap (\mathbb{Z}/n)^d$の各格子点を中心に長さ$1/n$の立方体を作り，その体積の和をとると
\[
\left(\frac{1}{n}\right)^d \cdot L_{\mathcal{P}}(n)
\]
となる．特に，$n \to \infty$を考えることで，
\[
\mbox{$\mathcal{P}$の体積}=\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{n}\right)^d \cdot L_{\mathcal{P}}(n)
\]
が成り立つ（小さな立方体で$\mathcal{P}$を埋め尽くすと考えれば理解できるであろう．より詳しくは区分求積法で示す）．$L_{\mathcal{P}}(n)$は$n$に関する$d$次多項式であったので，右辺は結局$L_{\mathcal{P}}(n)$の$n^d$の係数であることがわかる．
したがって$\mathcal{P}$の体積はEhrhart多項式が分かれば求めることができる．
さらに等式(3)，これはEhrhart-Macdonald相互法則と呼ばれる，を用いると，$2$次元の場合はPickの定理が得られる．特に，$L_{\mathcal{P}}(1),L_{\mathcal{P}}(2),\ldots$と$L^*_{\mathcal{P}}(1),L^*_{\mathcal{P}}(2),\ldots$の中から$d$個の値がわかれば，連立方程式を解くことでEhrhart多項式が求まり，体積がわかる．よって定理 5.3はPickの定理の高次元版である．
定理 5.3の証明に向けて，まず$\mathcal{P}$が単体のときに示す．
補題 5.5
$d$次元格子単体$\mathcal{P} \subset \mathbb{R}^N$に対し，定理 5.3が成り立つ．
証明
簡単のため$N=d$とし，格子単体$\mathcal{P}$の頂点を$\mathbf{a}_0,\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_d$とする．すると，
任意の$\mathbf{x} \in \mathcal{P}$と$\mathbf{y} \in {\rm int}(\mathcal{P})$は
\begin{align*}
\mathbf{x} &= \sum_{i=0}^d \lambda_i \mathbf{a}_i, \ \ \ \ \lambda_i \geq 0, \ \ \ \ \sum_{i=0}^d \lambda_i=1\\
\mathbf{y} &=\sum_{i=0}^d \mu_i \mathbf{a}_i, \ \ \ \ \mu_i > 0, \ \ \ \ \sum_{i=0}^d \mu_i=1
\end{align*}
なる一意的な表示を持つ．
特に，
任意の$\mathbf{x} \in n\mathcal{P}$と$\mathbf{y} \in {\rm int}(\mathcal{P})$は
\begin{align*}
\mathbf{x}&= \sum_{i=0}^d \lambda_i \mathbf{a}_i, \ \ \ \ \lambda_i \geq 0, \ \ \ \ \sum_{i=0}^d \lambda_i=n\\
\mathbf{y} &=\sum_{i=0}^d \mu_i \mathbf{a}_i, \ \ \ \ \mu_i > 0, \ \ \ \ \sum_{i=0}^d \mu_i=n
\end{align*}
なる一意的な表示を持つ．
$j=0,\ldots,d$に対し，格子点$\mathbf{x} \in \mathbb{Z}^d$で \[\mathbf{x}= \sum_{i=0}^d \lambda_i \mathbf{a}_i, \ \ \ \ 0 \leq \lambda_i <1 , \ \ \ \ \sum_{i=0}^d \lambda_i=j\] と表示されるものの全体からなる集合を$S_j$とする． さらに $j=1,\ldots,d+1$に対し，格子点$\mathbf{x} \in \mathbb{Z}^d$で \[\mathbf{x}= \sum_{i=0}^d \lambda_i \mathbf{a}_i, \ \ \ \ 0 < \lambda_i \leq 1 , \ \ \ \ \sum_{i=0}^d \lambda_i=j\] と表示されるものの全体からなる集合を$S^*_j$とする． すると \begin{equation} \label{ehr:eq1} |S^*_j|=|S_{d+1-j}| \cdots\cdots (4) \end{equation} が任意の$j=1,\ldots,d+1$で成り立つ． 実際，$\mathbf{v}_0=\mathbf{a}_1+\cdots+\mathbf{a}_d$とすると，$\mathbf{x} \in S^*_j$を$\mathbf{v}_0 -\mathbf{x} \in S_{d+1-j}$に送る写像$S^*_j \to S_{d+1-j}$は全単射となる．
実数$r \in \mathbb{R}$に対し，$\lfloor r \rfloor$で$r$以下の最大の整数を表し， $\lceil r \rceil$で$r$より大きい最小の整数を表す こととする．つまり，$\lfloor r \rfloor$は$s \leq r < s+1$を満たす整数$s$，$\lceil r \rceil$は$t-1 < r \leq t$を満たす整数$t$のことである．このとき， \[ 0 \leq r - \lfloor r \rfloor < 1, \ \ \ \ 0 < r - (\lceil r \rceil -1) \leq 1 \] が成り立つ． 今，格子点$\mathbf{x} \in n\mathcal{P} \cap \mathbb{Z}^d$と$\mathbf{y} \in {\rm int}(n\mathcal{P}) \cap \mathbb{Z}^d$は \begin{align*} \mathbf{x}&= \sum_{i=0}^d \lambda_i \mathbf{a}_i= \sum_{i=0}^d \lfloor\lambda_i \rfloor \mathbf{a}_i+ \sum_{i=0}^d (\lambda_i - \lfloor \lambda_i \rfloor) \mathbf{a}_i,\\ \mathbf{y}&= \sum_{i=0}^d \mu_i \mathbf{a}_i= \sum_{i=0}^d ( \lceil \mu_i \rceil -1)\mathbf{a}_i+ \sum_{i=0}^d (\mu_i - (\lceil \mu_i \rceil-1) )\mathbf{a}_i \end{align*} と変形できるので，$\mathbf{x}$と$\mathbf{y}$は \begin{align} \label{ehr:eq} \mathbf{x} = \sum_{i=0}^d q_i \mathbf{a}_i + \mathbf{v}, \ \ \ \ \mathbf{y} = \sum_{i=0}^d q_i^* \mathbf{a}_i + \mathbf{v}^* \cdots\cdots (5) \end{align} なる一意的な表示を持つ．ただし，$q_i,q^*_i \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$かつ$\mathbf{v} \in \bigcup_{j=0}^{d} S_j,\mathbf{v}^* \in \bigcup_{j=1}^{d+1} S^*_j$である．
今，格子点$\mathbf{v} \in S_j$と$\mathbf{v}^* \in S^*_j$を固定する． すると，(5)の格子点$\mathbf{x}$と$\mathbf{y}$の個数はともに \[ \sum_{i=0}^d q_i = n-j \] の非負整数解の個数となる．すなわち \[ \binom{d+1+(n-j)-1}{n-j}=\binom{n+d-j}{d} \] である． よって$\mathbf{v} \in S_j$と$\mathbf{v}^* \in S^*_j$を動かすことによって， \begin{align*} L_{\mathcal{P}}(n)&=\sum_{j=0}^d |S_j| \binom{n+d-j}{d},\\ L^*_{\mathcal{P}}(n)&=\sum_{j=1}^{d+1} |S^*_j| \binom{n+d-j}{d} \end{align*} となり，$|S_0|=|S_{d+1}|=1$から$L_{\mathcal{P}}(n)$は$n$に関する$d$次多項式となる． さらにその定数項は \[ L_{\mathcal{P}}(0)=\sum_{j=0}^d |S_j| \binom{d-j}{d}=|S_0|=1 > 0 \] となる． さらに，等式(4)を用いると，Ehrhart-Macdonald相互法則が示せる．
一般の格子凸多面体の場合は三角形分割を考え，単体の場合に帰着させる．
格子凸多面体の三角形分割は全ての面が格子単体のとき，格子三角形分割と呼ばれる．その存在は，定理 4.1と同様である．
それでは定理 5.3の証明を与える．
$j=0,\ldots,d$に対し，格子点$\mathbf{x} \in \mathbb{Z}^d$で \[\mathbf{x}= \sum_{i=0}^d \lambda_i \mathbf{a}_i, \ \ \ \ 0 \leq \lambda_i <1 , \ \ \ \ \sum_{i=0}^d \lambda_i=j\] と表示されるものの全体からなる集合を$S_j$とする． さらに $j=1,\ldots,d+1$に対し，格子点$\mathbf{x} \in \mathbb{Z}^d$で \[\mathbf{x}= \sum_{i=0}^d \lambda_i \mathbf{a}_i, \ \ \ \ 0 < \lambda_i \leq 1 , \ \ \ \ \sum_{i=0}^d \lambda_i=j\] と表示されるものの全体からなる集合を$S^*_j$とする． すると \begin{equation} \label{ehr:eq1} |S^*_j|=|S_{d+1-j}| \cdots\cdots (4) \end{equation} が任意の$j=1,\ldots,d+1$で成り立つ． 実際，$\mathbf{v}_0=\mathbf{a}_1+\cdots+\mathbf{a}_d$とすると，$\mathbf{x} \in S^*_j$を$\mathbf{v}_0 -\mathbf{x} \in S_{d+1-j}$に送る写像$S^*_j \to S_{d+1-j}$は全単射となる．
実数$r \in \mathbb{R}$に対し，$\lfloor r \rfloor$で$r$以下の最大の整数を表し， $\lceil r \rceil$で$r$より大きい最小の整数を表す こととする．つまり，$\lfloor r \rfloor$は$s \leq r < s+1$を満たす整数$s$，$\lceil r \rceil$は$t-1 < r \leq t$を満たす整数$t$のことである．このとき， \[ 0 \leq r - \lfloor r \rfloor < 1, \ \ \ \ 0 < r - (\lceil r \rceil -1) \leq 1 \] が成り立つ． 今，格子点$\mathbf{x} \in n\mathcal{P} \cap \mathbb{Z}^d$と$\mathbf{y} \in {\rm int}(n\mathcal{P}) \cap \mathbb{Z}^d$は \begin{align*} \mathbf{x}&= \sum_{i=0}^d \lambda_i \mathbf{a}_i= \sum_{i=0}^d \lfloor\lambda_i \rfloor \mathbf{a}_i+ \sum_{i=0}^d (\lambda_i - \lfloor \lambda_i \rfloor) \mathbf{a}_i,\\ \mathbf{y}&= \sum_{i=0}^d \mu_i \mathbf{a}_i= \sum_{i=0}^d ( \lceil \mu_i \rceil -1)\mathbf{a}_i+ \sum_{i=0}^d (\mu_i - (\lceil \mu_i \rceil-1) )\mathbf{a}_i \end{align*} と変形できるので，$\mathbf{x}$と$\mathbf{y}$は \begin{align} \label{ehr:eq} \mathbf{x} = \sum_{i=0}^d q_i \mathbf{a}_i + \mathbf{v}, \ \ \ \ \mathbf{y} = \sum_{i=0}^d q_i^* \mathbf{a}_i + \mathbf{v}^* \cdots\cdots (5) \end{align} なる一意的な表示を持つ．ただし，$q_i,q^*_i \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$かつ$\mathbf{v} \in \bigcup_{j=0}^{d} S_j,\mathbf{v}^* \in \bigcup_{j=1}^{d+1} S^*_j$である．
今，格子点$\mathbf{v} \in S_j$と$\mathbf{v}^* \in S^*_j$を固定する． すると，(5)の格子点$\mathbf{x}$と$\mathbf{y}$の個数はともに \[ \sum_{i=0}^d q_i = n-j \] の非負整数解の個数となる．すなわち \[ \binom{d+1+(n-j)-1}{n-j}=\binom{n+d-j}{d} \] である． よって$\mathbf{v} \in S_j$と$\mathbf{v}^* \in S^*_j$を動かすことによって， \begin{align*} L_{\mathcal{P}}(n)&=\sum_{j=0}^d |S_j| \binom{n+d-j}{d},\\ L^*_{\mathcal{P}}(n)&=\sum_{j=1}^{d+1} |S^*_j| \binom{n+d-j}{d} \end{align*} となり，$|S_0|=|S_{d+1}|=1$から$L_{\mathcal{P}}(n)$は$n$に関する$d$次多項式となる． さらにその定数項は \[ L_{\mathcal{P}}(0)=\sum_{j=0}^d |S_j| \binom{d-j}{d}=|S_0|=1 > 0 \] となる． さらに，等式(4)を用いると，Ehrhart-Macdonald相互法則が示せる．
証明
$\mathcal{P}$の格子三角形分割$\mathcal{T}$を1つ固定する．
このとき，
\[
L_{\mathcal{P}}(n)= \sum_{\emptyset \neq \mathcal{F} \in \mathcal{T}} L^*_{\mathcal{F}}(n)
\]
が成り立つ．
補題 5.5より，$L^*_{\mathcal{F}}(n)$は$n$に関する次数$\dim \mathcal{F}$の多項式であり，その定数項は$(-1)^{\dim(\mathcal{F})}$である．よって$L_{\mathcal{P}}(n)$の定数項は定理 4.2より，
\[\sum_{\emptyset \neq \mathcal{F} \in \mathcal{T}} (-1)^{\dim(\mathcal{F})}=\widetilde{\chi}(\mathcal{T}) +1=1\]
となる．
残すはEhrhart-Macdonald相互法則だが，こちらは次の事実を認めて，証明した気になって終わろうと思う．
任意の$n>0$に関して，
\begin{align*}
L^*_{\mathcal{P}}(n)&=\sum_{\substack{\emptyset \neq \mathcal{F} \in \mathcal{T}\\ \mathcal{F} \not\subset \partial \mathcal{P}}} L_{\mathcal{F}}^*(n),\\
L_{\mathcal{P}}(n)&=\sum_{\substack{\emptyset \neq \mathcal{F} \in \mathcal{T}\\ \mathcal{F} \not\subset \partial \mathcal{P}}} (-1)^{d-\dim(\mathcal{F})} L_{\mathcal{F}}(n).
\end{align*}
1つ目の式が成り立つことは容易にわかる．2つ目の式は明らかではないが，2次元で絵を書いてみるとなんとなく成り立ちそうなことはわかるであろう．この2つの式と補題 5.5を合わせるとEhrhart-Macdonald相互法則が従う．
例 5.6
例 5.2で考えた単体$\mathcal{P}_m$を考えると，そのEhrhart多項式は
\[
L_{\mathcal{P}_m}(n)=\frac{m}{6}n^3+n^2+\frac{12-m}{6}n+1
\]
であり，その最高次の係数は体積$m/6$に一致している．