ルービックキューブで学ぶ大学数学入門
演算・群・ラグランジュの定理・フェルマーの小定理

補足：今日のテーマ

高校までの数学では，計算問題を解いたり，公式を使ったりする場面が多い．しかし，大学数学では，身近な現象を数学の言葉に翻訳し，その中にある共通の構造を見つけることも大切である．

この講義では，ルービックキューブを題材にして，次のことを見る．

数学は，公式に当てはめて計算するだけの学問ではない．
足し算や掛け算だけでなく，操作の手順を合わせることも演算として考えられる．
ルービックキューブの操作全体は，群という数学的な構造をもつ．
有限群に成り立つラグランジュの定理から，フェルマーの小定理も理解できる．

数学は公式を使うだけの学問ではない

高校までの数学では，次のような印象が強いかもしれない． \[ \text{計算する，公式を覚える，公式に当てはめる．} \] たとえば，方程式を解く，因数分解する，微分や積分を計算する，三角関数の公式を使う，といった内容である．

もちろん，計算は数学にとって重要である．しかし，本来の数学は，決められた公式に数を代入するだけの学問ではない．実際，公式がそのまま使える場面は本来はごく一部である．たとえば，方程式を解くことや因数分解することは，一般には非常に難しい問題である．大きな数を素因数分解することの難しさは，現代の暗号にも関係している．

数学はかなり自由度の高い学問であり，自然界や社会に現れるさまざまな現象を数学の言葉に翻訳し，そこにある構造や法則を調べることも，数学の大切な一面である．この「現象を数学の言葉に翻訳する」という考え方は，情報科学やプログラミングでも重要である．現実の問題をコンピュータで扱うためには，まずその問題を数学的・論理的な形に整理する必要がある．

補足：大学数学の考え方

大学数学では，まず何を考えるのかをはっきりさせる．そのために定義を作り，その定義のもとで，どのような普遍的な法則が成り立つかを調べる．

今回のキーワードは \[ \boxed{\text{演算}} \] である．

現象を「演算」として見る

足し算だけが演算ではない

演算というと，足し算や掛け算を思い浮かべるかもしれない．たとえば， \[ 2+3=5, 2\times 3=6 \] である．しかし，演算は数に対してだけ考えるものではない．

定義：演算

ある種類のものを2つ選び，決められたルールで組み合わせて，また同じ種類のものを1つ作ることを演算という．

ここで大切なのは，何の集まりで考えているかである．たとえば，正の整数全体 \[ 1,2,3,… \] で引き算を考えると， \[ 2-5=-3 \] となる．しかし，$-3$ は正の整数ではない．したがって，引き算は正の整数全体の上の演算ではない．

例：いろいろな演算

考えるもの	演算	意味
整数	$a+b$	いつもの足し算
文字列	$uv$	文字列をつなげる
阿弥陀籤	上下にくっつける	2つの手順から新しい手順を作る
ルービックキューブの手順	$AB$	$A$ のあと $B$ を行う手順

やってみよう

次のルールは，指定された集まりの上の演算になっているか考えよ．

偶数全体で，足し算をする．
奇数全体で，足し算をする．
0でない実数全体で，掛け算をする．
0でない実数全体で，足し算をする．

操作の手順を合わせる

今日の主役は，数の演算ではなく，操作の手順を合わせるという演算である．ここで言いたいのは，単に同じ操作を何度も繰り返すということではない．そうではなく， \[ \boxed{\text{2つの操作手順をつなげて，1つの新しい操作手順と見る}} \] という考え方である．

たとえば，手順Aと手順Bがあるとき， \[ \text{手順Aのあとに手順Bを行う} \] という全体を，1つの新しい手順と考える．これも演算の一種である．

阿弥陀籤をくっつける

阿弥陀籤を考えてみよう． 1つの阿弥陀籤は，上の入口を下の出口へ移す「手順」と見ることができる．さらに，2つの阿弥陀籤を上下にくっつけると，新しい1つの阿弥陀籤ができる．

図：2つの阿弥陀籤を上下にくっつけると，新しい1つの阿弥陀籤になる．

これは， \[ \text{上の阿弥陀籤を通る} \text{そのあと} \text{下の阿弥陀籤を通る} \] という2つの手順を合わせて，1つの新しい手順を作っていると考えられる．つまり，阿弥陀籤の世界にも演算がある．

ルービックキューブの操作

操作を並べる

ルービックキューブでも同じことが起こる． 6つの面を回す操作を基本操作として考える．たとえば，上面を時計回りに $90^\circ$ 回す操作を $U$，右面を時計回りに $90^\circ$ 回す操作を $R$ と書く．

この講義では， \[ RU \] を \[ \text{まず }R\text{ を行い，次に }U\text{ を行う手順} \] と読むことにする．つまり，操作を横に並べることで，新しい1つの操作手順を作っている．

順番で結果が変わる

数の足し算では， \[ 2+3=3+2 \] である．しかし，操作の世界では，順番を入れ替えると結果が変わることがある．ルービックキューブでは，一般に \[ RU\neq UR \] である．

補足：可換でない

演算において，順番を入れ替えると結果が変わることがある．このような演算を可換でないという．ルービックキューブの操作は，可換でない演算の代表的な例である．

このように，数の足し算とは違う演算を考えると，新しい現象が見えてくる．ここに大学数学らしい考え方がある．

群という考え方

ここまで見てきたように，演算は数に対してだけ考えるものではない．阿弥陀籤を上下につなげることや，ルービックキューブの手順を合わせることも，演算として考えることができる．数学では，演算をもつ世界の中で，特に性質のよいものを群と呼ぶ．

まずは，よく知っている整数の足し算を例にして，群のイメージを見てみよう．

例：整数の足し算

整数全体 \[ …,-2,-1,0,1,2,3,… \] を考える．この世界では，足し算が演算になっている．たとえば， \[ 2+3=5 \] であり，2つの整数を足すと，また整数が得られる．

また，足しても何も変えない数がある．それが $0$ である．実際， \[ 2+0=2 \] である．このようなものを，演算における「何もしないもの」と考えることができる．

さらに，$2$ に対しては $-2$ を足すと $0$ に戻る．つまり， \[ 2+(-2)=0 \] である．この $-2$ は，足し算に関して $2$ を打ち消すものと考えられる．

最後に，3つの数を足すときには，括り方を変えても結果は変わらない．たとえば， \[ (2+3)+1=2+(3+1) \] である．

この例から，群に必要な性質の雰囲気が見えてくる．

定義：群のイメージ

群とは，演算がうまく振る舞う世界を表す数学の言葉である．ここでは厳密な定義ではなく，次のように理解しておけばよい．

演算しても何も変えない特別なものがある．
どのものにも，演算によって元に戻すものがある．
3つ以上を演算するとき，括り方を変えても結果は同じである．

本当の群の定義では，「2つのものを演算すると，また同じ世界の中のものが得られる」という条件も必要である．これは，演算という言葉をきちんと使うために大切な条件である．整数の足し算では，2つの整数を足すとまた整数になるので，この条件が成り立っている．

補足：今回の具体例

整数の足し算では，演算は「足すこと」であった．ルービックキューブでは，演算は「操作の手順を合わせること」である．つまり，群とは必ずしも数だけの話ではない．演算がうまく振る舞う世界であれば，数の世界でも，操作の世界でも，同じ言葉で扱うことができる．

ルービックキューブの操作全体は，群になる．何もしない操作があり，各操作には逆向きに回すことで元に戻す操作がある．また，操作手順を合わせると，また1つの操作手順になる．さらに，3つ以上の操作手順を合わせるとき，どこで括っても最終的な手順は変わらない．

ルービックキューブ群の大きさと位数

ルービックキューブ群の元の個数

ルービックキューブでは，面を回す操作をいろいろ組み合わせることで，非常に多くの状態を作ることができる．通常の $3\times3\times3$ のルービックキューブで，実際に到達できる状態の個数は \[ 43,252,003,274,489,856,000 \] である．これは約 \[ 4.3\times 10^{19} \] 個である．

補足：巨大だが有限

ルービックキューブの状態は非常に多い．しかし，無限ではなく有限個である．したがって，ルービックキューブの操作全体からなる群は，非常に大きな有限群である．

元の位数

群には演算がある．そこで，群の中の1つの元を，その演算で何度も合わせることを考える．その結果，いつか「何もしない元」に戻ることがある．このとき，初めて何もしない元に戻るまでの回数を，その元の位数という．

定義：位数

群の元 $g$ に対して， \[ g^n=e \] となる最小の正の整数 $n$ を，$g$ の位数という．ここで $e$ は，その群の演算における「何もしない元」である．もしそのような正の整数 $n$ が存在しないとき，$g$ の位数は無限であるという．

ここで $g^n$ は，$g$ を演算で $n$ 回合わせることを表す．たとえば，演算が足し算なら，$g$ を何回も足すことを考える．演算がルービックキューブの手順を合わせることなら，$g$ という手順を何回も合わせることを考える．

例：位数が無限になる例

整数全体の足し算の群を考える．この群で，何もしない元は $0$ である．元 $1$ を何度も足していくと， \[ 1, 1+1=2, 1+1+1=3, … \] となる．何回足しても $0$ には戻らない．したがって，整数の足し算の群において，$1$ の位数は無限である．

このように，群の元の位数はいつも有限とは限らない．しかし，このあと見るラグランジュの定理から，有限群では各元の位数が必ず有限になることが分かる．しかも，ただ有限になるだけではなく，その位数は群全体の元の個数を割り切る．ここが有限群の重要な特徴である．

ルービックキューブの操作全体からなる群は有限群である．したがって，ルービックキューブのどの元も有限の位数をもつ．たとえば，何もしない元 $e$ は「何もしない操作」であり，右面を $90^\circ$ 回す操作を $R$ とすると， \[ R^4=e \] である．これは，$R$ という元を，ルービックキューブの演算で4回合わせると何もしない元に戻る，という意味である．したがって，$R$ の位数は $4$ である．

ルービックキューブ群には，もっと大きな位数をもつ元も現れる．たとえば， \[ RU \] という元の位数は \[ 105 \] である．つまり，$RU$ という元を105回合わせると初めて何もしない元に戻る．

さらに， \[ g=RU^2D^{-1}BD^{-1} \] という元を考えると，この元の位数は \[ 1260 \] である．ここで，$U^2$ は $U$ を2回行う操作，$D^{-1}$ は $D$ の逆向きの操作を表す．この元 $g$ は，3次ルービックキューブ群の中で可能な最大の位数をもつ例であり， 1260回合わせて初めて何もしない元に戻る．

例：なぜ $1260$ と分かるのか

実際にルービックキューブを1260回動かして確かめるのは大変である．しかし，群として考えると，この位数は計算によって求めることができる．

考え方は次の通りである．ルービックキューブの小さな部品に番号をつけると，1つの手順は，それらの番号を入れ替える規則として表せる．この入れ替わりは，いくつかの「輪になった入れ替わり」に分解できる．たとえば，記号の意味だけを示すと， \[ (a_1\ a_2\ a_3\ a_4) (b_1\ b_2\ \cdots\ b_9) (c_1\ c_2\ \cdots\ c_5) (d_1\ d_2\ \cdots\ d_7) \] のように書ける．ここで \[ (a_1\ a_2\ a_3\ a_4) \] は，$a_1$ が $a_2$ へ，$a_2$ が $a_3$ へ，$a_3$ が $a_4$ へ，最後に $a_4$ が $a_1$ へ戻るような入れ替わりを表す．この輪の長さは $4$ であり，4回繰り返すとこの部分は元に戻る．

同じように，長さが $9,5,7$ の輪があると，それぞれ $9$ 回，$5$ 回，$7$ 回で元に戻る．全体が同時に元に戻るためには，これらすべてが同時に元に戻る必要があるので，必要な回数は最小公倍数 \[ \operatorname{lcm}(4,9,5,7)=1260 \] になる．

ラグランジュの定理

位数は，無限になることもある．しかし，群全体の元の個数が有限である場合には，位数について非常に強い定理が成り立つ．それがラグランジュの定理である．

定理：ラグランジュの定理の一部

有限群では，各元の位数は有限であり，しかも群全体の元の個数を割り切る．

ここでは証明はしないが，この定理は有限群の基本定理の1つである．整数全体の足し算のような無限群では，元の位数が無限になることがある．一方，有限群ではラグランジュの定理により，どの元も有限の位数をもつ．さらに，その戻るまでの回数は，群全体の元の個数を必ず割り切る．

もう少しイメージで言うと，1つの元 $g$ から \[ e, g, g^2, g^3, … \] を作っていくと，これらは群の中にある小さな世界を作る．その小さな世界の元の個数が，ちょうど $g$ の位数である．ラグランジュの定理は，その小さな世界の大きさが，群全体の大きさを割り切ることを主張している．

ルービックキューブの群は有限群である．したがって，ルービックキューブ群のどんな元を選んでも，その元の位数は有限であり，さらにルービックキューブ群全体の元の個数 \[ 43,252,003,274,489,856,000 \] を割り切る．

たとえば，先ほど出てきた \[ 4, 105, 1260 \] は，すべてこの巨大な数を割り切る．一方で，$13$ はこの数を割り切らない．したがって，ラグランジュの定理により，ルービックキューブ群には位数 $13$ の元は存在しない．つまり，「13回合わせると初めて元に戻る」ようなルービックキューブの手順はない．

補足：同じ法則が働いている

ルービックキューブの具体的な操作手順はとても複雑である．しかし，群という言葉で見ると，その背後には \[ \boxed{\text{有限群では，元の位数は全体の個数を割り切る}} \] という単純で普遍的な法則がある．

余りの世界の掛け算とフェルマーの小定理

余りだけを見て計算する

ここで，まったく違う話に見える「余りの世界」を考える．たとえば，$5$ で割った余りだけを見ると，どんな整数も \[ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4 \] のどれかと同じものとして扱うことができる．

ここで，余りを表す記号を1つ導入しておく．整数 $a$ と $b$ を $m$ で割った余りが等しいとき， \[ a\equiv b \pmod m \] と書く．これは「$a$ と $b$ は $m$ で割った余りが同じ」という意味である．たとえば， \[ 7\equiv 2 \pmod 5 \] は，$7$ を $5$ で割った余りと $2$ を $5$ で割った余りがどちらも $2$ であることを表している．同じように， \[ 8\equiv 3 \pmod 5, 56\equiv 1 \pmod 5 \] である．

定義：合同式と $\bmod$ の記号

\[ a\equiv b \pmod m \] とは，$a$ と $b$ を $m$ で割った余りが等しい，という意味である．この記号を合同式という．また，$\pmod m$ は「$m$ で割った余りを考えている」という意味を表している．

余りの世界では，掛け算も余りだけを使って計算できる．たとえば， \[ 7\times 8=56 \] であり，$56$ を $5$ で割った余りは $1$ である．一方で， \[ 7\equiv 2 \pmod 5, 8\equiv 3 \pmod 5 \] であるから， \[ 7\times 8\equiv 2\times 3=6\equiv 1 \pmod 5 \] となる．

つまり，大きな数をそのまま掛け算しなくても，それぞれの余りを先に見てから掛け算してよい．これが余りの世界の便利なところである．

例：大きな数の余り

たとえば， \[ 84\times 91 \] を $5$ で割った余りを考える．直接計算してもよいが，余りだけを見れば， \[ 84\equiv 4 \pmod 5, 91\equiv 1 \pmod 5 \] なので， \[ 84\times 91\equiv 4\times 1=4 \pmod 5 \] とすぐに分かる．

大きな数が積の形で書かれているときには，それぞれの因数を割った余りを見ればよい．これは，大きな数の余りを調べるときに非常に便利である．

しかし，指数が大きくなると，余りだけを追う計算でも大変になる．たとえば， \[ 3^{100} \] を $7$ で割った余りを知りたいとき，$3$ を100回掛けるのは大変である．ここで役に立つのが，フェルマーの小定理である．

フェルマーの小定理

定理：フェルマーの小定理

$p$ を素数とし，$a$ を $p$ で割り切れない整数とする．このとき， \[ a^{p-1}\equiv 1 \pmod p \] が成り立つ．

たとえば $p=7$, $a=3$ とすると， \[ 3^6\equiv 1 \pmod 7 \] である．これを余りの世界の掛け算として確認してみよう．

\[ 3^2=9\equiv 2 \pmod 7, \] \[ 3^3\equiv 2\cdot 3=6 \pmod 7, \] \[ 3^4\equiv 6\cdot 3=18\equiv 4 \pmod 7, \] \[ 3^5\equiv 4\cdot 3=12\equiv 5 \pmod 7, \] \[ 3^6\equiv 5\cdot 3=15\equiv 1 \pmod 7. \] したがって， \[ 3^6\equiv 1 \pmod 7 \] となる．

この定理を使うと，大きな指数の計算が簡単になる．たとえば，$3^{100}$ を $7$ で割った余りを考える．フェルマーの小定理より， \[ 3^6\equiv 1 \pmod 7 \] である．したがって， \[ 3^{100}=3^{96}\cdot 3^4=(3^6)^{16}\cdot 3^4 \] なので， \[ 3^{100}\equiv 1^{16}\cdot 3^4\equiv 3^4 \pmod 7. \] さらに， \[ 3^4=81\equiv 4 \pmod 7 \] であるから， \[ 3^{100}\equiv 4 \pmod 7 \] と分かる．

フェルマーの小定理と群

なぜフェルマーの小定理が成り立つのだろうか．その背後には，ここまで見てきた群の考え方がある．

$7$ で割った余りのうち，$0$ 以外の \[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6 \] を考える．これらは，「掛け算をしてから $7$ で割った余りを見る」という演算で群になる．ここでの演算は足し算ではなく掛け算なので，何もしないものは $0$ ではなく $1$ である．実際，どの数に $1$ を掛けても変わらない： \[ 2\cdot 1\equiv 2 \pmod 7, 5\cdot 1\equiv 5 \pmod 7. \] また，それぞれの数には，掛けると $1$ になる相手がある．たとえば， \[ 3\cdot 5=15\equiv 1 \pmod 7 \] なので，余りの世界では $5$ は $3$ を打ち消す役割をもっている．

この群の元の個数は $6$ 個である．したがって，ラグランジュの定理により，どの元の位数も $6$ を割り切る．そのため，$7$ で割り切れない数 $a$ に対して， \[ a^6\equiv 1 \pmod 7 \] が成り立つ．一般の素数 $p$ でも同じ考え方により， \[ a^{p-1}\equiv 1 \pmod p \] が得られる．

補足：ルービックキューブと余りの世界

ルービックキューブの操作と，余りの世界の掛け算は，一見まったく違うものに見える．しかし，どちらも群という同じ数学の言葉で捉えることができる．そして，どちらにもラグランジュの定理という同じ法則が働いている．

まとめ

今回見たことをまとめよう．

数学は，公式を使って計算するだけの学問ではない．
さまざまな現象を数学の言葉に翻訳して考えることができる．
今回は「演算」という見方で，操作の手順を合わせることを考えた．
ルービックキューブの操作全体は群になる．
ルービックキューブ群は非常に大きな有限群であり，元の個数は \[ 43,252,003,274,489,856,000 \] である．
有限群では，元の位数は有限であり，群全体の元の個数を割り切る．
同じ考え方から，フェルマーの小定理も理解できる．

ルービックキューブの操作と，余りの世界の計算は，一見まったく違うものに見える．しかし，どちらも「群」という同じ数学の言葉で捉えることができる．このように，異なる現象の背後に共通する構造を見つけることが，大学数学の大きな魅力の1つである．

ルービックキューブで学ぶ大学数学入門 演算・群・ラグランジュの定理・フェルマーの小定理