5.3：準同型写像と準同型定理
加群を比べる写像として準同型写像を定義する．定義 5.3.1
$M,N$を$R$加群とする．写像$f : M \to N$が$R$準同型写像または$R$線型写像であるとは，条件
$R$準同型写像はベクトル空間では線型写像，群や環では準同型写像に相当している．そのときと同様に像と核を定義する．
任意の$x,y \in M$に対して，$f(x+y)=f(x)+f(y)$，
-
任意の$a \in R$と$x \in M$に対して，$f(a \bullet_M x)=a \bullet_N f(x)$
定義 5.3.2
$M,N$を$R$加群，$f:M\to N$を$R$準同型写像とする．
このとき，
${\rm Ker}(f):=\{x \in M : f(x)=0\}$を$f$の核という．
-
${\rm Im}(f):=\{f(x): x \in M\}$を$f$の像という．
${\rm Coker}(f):=N/{\rm Im}(f)$を$f$の余核 (cokernel)という．
補足 5.3.3
余核と同様に余像${\rm CoIm}(f):=M/{\rm Ker}(f)$も定義できるが，後述する準同型定理により${\rm CoIm}(f) \cong {\rm Im}(f)$となるため，分けて考える必要はない．
これらの集合は全て加群の構造を持つ．
命題 5.3.4
$M,N$を$R$加群，$f:M\to N$を$R$準同型写像とする．
このとき，
${\rm Ker}(f)$は$M$の部分加群である．
-
${\rm Im}(f)$は$N$の部分加群である．
${\rm Coker}(f)$は$R$加群である．
証明
(1), (2)：$f$は群の準同型写像なので，${\rm Ker}(f)$と${\rm Im}(f)$はそれぞれ$M$と$N$の部分群である．したがって，これらが$R$作用で閉じていること見ればよい．
$a \in R$と$x \in {\rm Ker}(f)$を任意にとると，
\[
f(a \bullet_M x)=a \bullet_N f(x)=a \bullet_N 0_N=0_N
\]となるので，$a \bullet_M x \in {\rm Ker}(f)$である．一方，$a \in R$と$f(x) \in {\rm Im}(f)$（ただし$x \in M$）を任意にとると，
\[
a \bullet_N f(x)=f(a \bullet_M x)
\]
であり，$a \bullet_M x \in M$から$a \bullet_N f(x) \in {\rm Im}(f)$である．
以上により，(1)と(2)は成り立つ．
(3)は(2)から従う．
また単射性は核からわかる．
(3)は(2)から従う．
命題 5.3.5
$M,N$を$R$加群，$f:M\to N$を$R$準同型写像とする．
このとき，$f$が単射であることと，${\rm Ker}(f)=\{0_M\}$となることは同値である．
証明
$f$がアーベル群の群準同型写像であることからわかる．
ベクトル空間，環，群のときと同様に準同型定理が成り立つ．
定理 5.3.6:加群の準同型定理
$M,N$を$R$加群とする．任意の$R$準同型写像$\varphi : M \to N$に対し，
\[
\overline{\varphi} : M /{\rm Ker}(\varphi)\to {\rm Im}(\varphi);\ x+{\rm Ker}(\varphi) \mapsto \varphi(x)
\]
はwell-definedな同型写像である．つまり，$M/{\rm Ker}(\varphi) \cong {\rm Im}(\varphi)$である．
証明
群の準同型定理より，$\overline{\varphi}$はwell-definedな群同型写像である．したがって，$\overline{\varphi}$が$R$準同型写像，特に，(ii)の条件が成り立つことがわかれば十分である．
これは，任意の$a \in R$と$x+{\rm Ker}(\varphi)$に対し，
\[
\overline{\varphi}(a \bullet (x+{\rm Ker}(\varphi)))=\overline{\varphi}((a \bullet x)+{\rm Ker}(\varphi))=\varphi(a \bullet x) a \bullet \varphi(x)=a \bullet \overline{\varphi}(x+{\rm Ker}(\varphi))
\]
となることから従う．