5.2：部分加群と剰余加群
加群の部分構造である部分加群を定義する．これはベクトル空間の部分空間，環のイデアル，アーベル群の部分群に対応する構造である．定義 5.2.1
$M$を$R$加群とする．部分集合$N \subset M$が$M$の部分$R$加群，または単に部分加群であるとは，$N$は$M$の加法に関して（アーベル）部分群であり，$R$の作用で閉じている，つまり条件
$0 \in N$，
-
任意の$x,y \in N$に対して$x+y \in N$，
任意の$a \in R, x \in N$に対して$a \bullet x \in N$
例 5.2.2
$R$加群$M$の部分集合$\{0\}$と自身$M$は$M$の部分加群である．これらを自明な部分加群という．
-
$R$を$R$加群として考えると，$R$の部分加群は$R$のイデアルに他ならない．
アーベル群を$\mathbb{Z}$加群として考えると，その部分加群は部分群に他ならない．
$K$が体とすると，$K$上のベクトル空間を$K$加群として考えると，部分加群は部分空間に他ならない．
定義 5.2.3
$M$を$R$加群とし，$S=\{x_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$を$M$の元の集合族とする．
このとき，
\[RS:=\left\{ \sum_{\lambda \in \Lambda} a_{\lambda} x_{\lambda} : \mbox{$a_{\lambda}\in R$で，有限個の$\lambda \in \Lambda$を除いて$a_{\lambda}=0$}\right\}\]
とおく．この集合の$\sum_{\lambda \in \Lambda} a_{\lambda} x_{\lambda}$は無限個の元の和に見えるが，有限個の$\lambda \in \Lambda$を除いて$a_{\lambda}=0$なので，有限個の$0$でない元の和として見ることができる．また$S$が有限集合$S=\{x_1,\ldots,x_n\}$のとき，
\[
RS=\sum^n_{i=1}Rx_i
\]
とも表す．
命題 5.2.4
$M$を$R$加群とし，$S=\{x_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$を$M$の元の集合族とする．
このとき，$RS$は$S$を含む$M$の最小の部分加群である．$RS$を$S$により生成される$M$の部分加群という．また$RS=M$のとき，$S$は$M$の生成系という．
証明
イデアルのときの同様である．
次に剰余加群を導入しよう．
$N$を$R$加群$M$の部分加群とする．このとき，$M$上の二項関係を
\[
x \sim_N y \overset{\rm def}{\iff} x-y \in N
\]
で定義する．これが同値関係となることは群のときと同様．
このとき，$x \in M$の同値類（剰余類）を$x+N$，商集合を$M/N$と表す．今，$M/N$上の加法と$R$作用を
\[
(x+N)+(y+N):=(x+_My)+N
\]
\[
a \bullet (x+N):=a \bullet_M x+N
\]
で定義する．ただし，$+_M$と$\bullet_M$はそれぞれ$M$の加法と$R$作用である．
命題 5.2.5
$M/N$は$R$加群である．これを$M$の$N$による剰余加群という．
証明
$M/N$がアーベル群となることは剰余群のときと同様．
（$\bullet$のwell-defined性） $x+N=y+N$を満たす任意の$x+N,y+N \in M/N$と$a \in R$をとる．このとき，$x-y \in N$である．このとき，$N$が$M$の部分加群なので \[ a \bullet_M x-a \bullet_M y=a \bullet_M (x-y) \in N \] である．よって， \[ a \bullet (x+N)= a \bullet_M x+N+ N=a \bullet_M y +N=a \bullet (y+N) \] であるので，$\bullet$はwell-definedである．
この作用に対して，$M/N$が加群の条件を満たすことは容易に示せる．
（$\bullet$のwell-defined性） $x+N=y+N$を満たす任意の$x+N,y+N \in M/N$と$a \in R$をとる．このとき，$x-y \in N$である．このとき，$N$が$M$の部分加群なので \[ a \bullet_M x-a \bullet_M y=a \bullet_M (x-y) \in N \] である．よって， \[ a \bullet (x+N)= a \bullet_M x+N+ N=a \bullet_M y +N=a \bullet (y+N) \] であるので，$\bullet$はwell-definedである．
この作用に対して，$M/N$が加群の条件を満たすことは容易に示せる．