$M$の生成元の個数を$n$とし，$n$に関する帰納法を用いる．$n=1$のとき，$M=Rx$（$x \in M$）と表せる．特に，全射な$R$準同型$\pi:R \to M, a\mapsto ax$がある．$M$の部分加群$N$に対し，$I:=\pi^{-1}(N) \subset R$は$R$のイデアルとなるので，$R$はPIDより，$I$は有限生成である．特に，$N=Ix$から$N$も有限生成である．
$n \geq 2$とし，$n-1$まで正しいとする．$M=\sum^n_{i=1}Rx_i$と表し，$M_1:=Rx_1,M_2:=M/M_1$とおく．このとき，$M_2=\sum_{i=2}^n R \overline{x_i}$（$\overline{x_i}:=x_i+M_1$）と表せるので，帰納法の仮定により，$M_2$の部分加群は有限生成である． 部分加群$N \subset M$をとる．すると，包含写像$f:N \to M$と自然な全射$g : M \to M/M_1=M2$の合成写像に準同型定理を適用すると同型写像 \[ \varphi:N/(N \cap M_1) \to (N+M_1)/M_1 \] が得られる． $N \cap M_1$と$N/(N \cap M_1)$はそれぞれ$M_1$と$M_2$の部分加群として見なせるので，有限生成である．これらの生成元を$y_1,\ldots,y_k \in N \cap M, \overline{y_{k+1}},\ldots,\overline{y_{\ell}} \in N/(N \cap M_1)$とすれば，$y_1,\ldots,y_{\ell}$は$N$の生成元となり，$N$が有限生成であることが従う．

$M$の生成系として$x_1,\ldots,x_n$をとると，全射$R$準同型 \[ g: R^n \to M=\sum^{n}_{i=1} R x_i, \quad (a_1,\ldots,a_n) \mapsto \sum^{n}_{i=1} a_i x_i \] が定まる．このとき，${\rm Ker}(g)$もまた有限生成であるので，同様にして，全射$R$準同型$f_0: R^m \to {\rm Ker}(g)$が定義できる．今，$f_0$と包含写像${\rm Ker}(g) \to R^n$を合成した写像$f:R^m \to R^n$を考える．このとき，$f(R^m)=f_0(R^m)={\rm Ker}(g)$に注意する． すると準同型定理から \[ M \cong R^n/{\rm Ker}(g)=R^n/f(R^m) \] を得る． ここで，$f$を標準基底で表示した行列を$F \in M_{n,m}(R)$とすると， \[ F \sim \begin{pmatrix} d_1 &&&&&\\ & \ddots &&&\mathbf{0}&\\ && d_r &&&\\ &&& 0 &&\\ &\mathbf{0}&&& \ddots &\\ &&&&& 0 \end{pmatrix} \] と変形できる． つまり，ある正則行列$P,Q$を用いて \[ Q^{-1}FP=\begin{pmatrix} d_1 &&&&&\\ & \ddots &&&\mathbf{0}&\\ && d_r &&&\\ &&& 0 &&\\ &\mathbf{0}&&& \ddots &\\ &&&&& 0 \end{pmatrix} \] となる．この$P,Q$で$R^m$と$R^n$の基底を取り替えることで，$R^m$の基底$(y_1,\ldots,y_m) \in R^m$と$R^n$の基底$(z_1,\ldots,z_n)$で \[ f(y_i)=\begin{cases} d_i z_i &(i \leq r)\\ 0 & (i> r) \end{cases} \] となるものが存在する．したがって，準同型定理より \[ M \cong R^n/{\rm Ker}(g) = R^n/f(R^m)=\bigoplus^n_{i=1} Rz_i / \bigoplus^m_{i=1} f(Ry_i)=\bigoplus^n_{i=1} Rz_i / \bigoplus^r_{i=1} Rd_iz_i \cong \bigoplus^n_{i=1} R/ Rd_i \oplus R^{n-r} \] となる．