6.2：単因子
任意の行列は基本変形によって非常に単純な形に変形できる．実際，以下の定理が成り立つ．定理 6.2.1
$R$をPIDとし，$F \in M_{n,m}(R)$をとる．このとき，\[
F \sim \begin{pmatrix}
d_1 &&&&&\\
& \ddots &&&\mathbf{0}&\\
&& d_r &&&\\
&&& 0 &&\\
&\mathbf{0}&&& \ddots &\\
&&&&& 0
\end{pmatrix}
\]
となる．ただし，$0 \leq r \leq \min\{n,m\},d_1,\ldots,d_r \in R\setminus 0$で 各$1 \leq i\leq r-1$に対して，$a_i | a_{i+1}$が成り立つ．この$(d_1,\ldots,d_r) \in R^r$を$F$の単因子 (elementary divisor)といい，右辺の行列を$F$の単因子標準形またはスミス標準形という．
この定理の証明のために，いくつか補題を準備する．
補題 6.2.2
$R$をPIDとし，$\mathcal{I}$を空でない$R$のイデアルの族とする．このとき，$\mathcal{I}$は包含関係に関して極大元を持つ．
証明
$I_1 \in \mathcal{I}$を任意にとる．
$\mathcal{I}$が極大元を持たないと仮定すると，ある$I_2 \in \mathcal{I}$で$I_1 \subsetneq I_2$となるものが存在する．同様に，$I_3 \in \mathcal{I}$で$I_2 \subsetneq I_3$となるものが存在する．これを繰り返すと，イデアルの無限昇鎖列
\[
I_1 \subsetneq I_2 \subsetneq I_3 \subsetneq
\]
が構成できるが，$R$がPIDなので，補題4.3.8に矛盾する．したがって，$\mathcal{I}$は極大元を持つ．
補題 6.2.3
$R$をPIDとし，$a,b \in R, d=\gcd(a,b)$とする．
このとき$Rd=Ra+Rb$である．
証明
$R$はPIDなので，$Ra+Rb=Rd'$となる$d' \in R$が存在する．すると，ある$x,y \in R$を用いて$ax+by=d'$と書ける．
また$\gcd(a,b)=d$より$a',b'$を用いて$a=a'd,b=b'd$と表すことができる．すると$d'=a'dx+b'dy=d(a'x+b'y) \in Rd$が成り立ち，$d|d'$が従う．
よって$dR \subset d'R$となる．
一方，$a,b \in Rd'$より$d'$は$a,b$の公約元となる．よって，$\gcd(a,b)=d$から$d'|d$が従い，$d'R \subset dR$となる．以上より，$aR+bR=d'R = dR$が成り立つ．
定理6.2.1の証明
行列の集合
\[
\mathcal{F}c:=\{F' \in M_{m,n}(R) : F \sim F'\}
\]
を考える．
$F=\mathbf{0}$のとき，$\mathcal{F}=\{\mathbf{0}\}$であり，定理の主張は成り立つ．そこで，$F \neq \mathbf{0}$とする．$R$のイデアルの族$\mathcal{I}$を
\[
\mathcal{I}:=\{ Ra \subset R : \mbox{$a$はある$F' \in \mathcal{F}$の成分}\}
\]
とおく．このとき，$\mathcal{I} \neq \emptyset$である．すると，$R$はPIDなので補題6.2.2から$\mathcal{I}$は極大元を持つ．それを$Rd_1$としよう．
$F \neq \mathbf{0}$より$d_1 \neq 0$である．また$d_1$を成分に持つ$F' \in \mathcal{F}$が存在する．このとき，初等変形により$F'$の$(1,1)$成分を$d_1$としてよい．\[F'=(a_{ij})_{\substack{1 \leq i \leq n\\ 1 \leq j \leq m}}\]と表す．
このとき，次の主張を示す．
主張：任意の$i,j$に対し，$a_{i1},a_{1j} \in Rd_1$である．
$d_1'=\gcd(d_1,a_{1j})$とすると補題6.2.3より$Rd_1'=Rd_1+Ra_{1j}$となる．すると，$d_1,a_{1j} \in Rd_1'$より，ある$x,y \in R$を用いて，$d_1=xd_1',a_{1j}=yd_1'$となる．一方，$d_1' \in Rd_1+Ra_{1j}$よりある$a,b \in R$を用いて，$d_1'=ad_1+ba_{1j}$となる．したがって， \[ d_1'=ad_1+ba_{i1}=axd_1'+byd_1' \] より，$d_1'(1-ax-by)=0$を得る．すると$d_1 \neq 0$から$d_1' \neq 0$なので，$R$が整域であることから$ax+by=1$を得る．よって，$E_{1j}(a,b,x,-y)$は基本行列となる．この基本行列を左から$F'$に掛けると$(1,1)$成分が$ad_1+ba_{1j}=d_1'$となる．特に，$d_1'R \in \mathcal{I}$である．よって， $d_1 R \subset d_1' R$より，$Rd_1$の極大性から$Rd_1 = Rd_1' $となる．したがって$d_1' \in d_1'R =Rd_1$が成り立つ．同様に，$a_{i1} \in Rd_1$も示せる． 主張により， \[ F' = \begin{pmatrix} d_1 &a_{12}'d_1&\cdots & a'_{1m}d_1 \\ a'_{21}d_1& &&\\ \vdots &&*&\\ a'_{n1}d_1&&& \end{pmatrix} \] と書くことができる．ここで，$a'_{ij}\in R$である．すると，初等変形により \[ F' \sim \begin{pmatrix} d_1 &0&\cdots &0 \\ 0& &&\\ \vdots &&F_1&\\ 0&&& \end{pmatrix}\in \mathcal{F} \] となる．ここで，$F_1 \in M_{m-1,n-1}(R)$である． $F_1 \neq \mathbf{0}$であれば，同様の操作を$F_1$に施して \[ F \sim F' \sim \begin{pmatrix} d_1 & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & F_1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} d_1 && \mathbf{0}\\ &d_2&& \\ \mathbf{0} && F_1 \end{pmatrix}\sim \cdots \sim \begin{pmatrix} d_1 &&&&&\\ & \ddots &&&\mathbf{0}&\\ && d_r &&&\\ &&& 0 &&\\ &\mathbf{0}&&& \ddots &\\ &&&&& 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{F} \] を得る．ここで，$d_1,\ldots,d_r \neq 0$である．一方， \[ \begin{pmatrix} d_1 &&&&&\\ & \ddots &&&\mathbf{0}&\\ && d_r &&&\\ &&& 0 &&\\ &\mathbf{0}&&& \ddots &\\ &&&&& 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} d_1 &d_2&&&&&\\ 0& d_2 &&&&\mathbf{0}&\\ &&\ddots &&&&\\ &&& d_r &&&\\ &&&& 0 &&\\ &\mathbf{0}&&&& \ddots &\\ &&&&&& 0 \end{pmatrix} \] であり，上記の主張から$d_2 \in R d_1$，つまり$d_1 | d_2$が成り立つ．同様に，任意の$i$に対し，$d_i | d_{i+1}$が言えるので，定理の主張が成り立つ．
単因子が行列ごとに一意的であることを見ていく．そのために，行列式因子を定義する．
主張：任意の$i,j$に対し，$a_{i1},a_{1j} \in Rd_1$である．
$d_1'=\gcd(d_1,a_{1j})$とすると補題6.2.3より$Rd_1'=Rd_1+Ra_{1j}$となる．すると，$d_1,a_{1j} \in Rd_1'$より，ある$x,y \in R$を用いて，$d_1=xd_1',a_{1j}=yd_1'$となる．一方，$d_1' \in Rd_1+Ra_{1j}$よりある$a,b \in R$を用いて，$d_1'=ad_1+ba_{1j}$となる．したがって， \[ d_1'=ad_1+ba_{i1}=axd_1'+byd_1' \] より，$d_1'(1-ax-by)=0$を得る．すると$d_1 \neq 0$から$d_1' \neq 0$なので，$R$が整域であることから$ax+by=1$を得る．よって，$E_{1j}(a,b,x,-y)$は基本行列となる．この基本行列を左から$F'$に掛けると$(1,1)$成分が$ad_1+ba_{1j}=d_1'$となる．特に，$d_1'R \in \mathcal{I}$である．よって， $d_1 R \subset d_1' R$より，$Rd_1$の極大性から$Rd_1 = Rd_1' $となる．したがって$d_1' \in d_1'R =Rd_1$が成り立つ．同様に，$a_{i1} \in Rd_1$も示せる． 主張により， \[ F' = \begin{pmatrix} d_1 &a_{12}'d_1&\cdots & a'_{1m}d_1 \\ a'_{21}d_1& &&\\ \vdots &&*&\\ a'_{n1}d_1&&& \end{pmatrix} \] と書くことができる．ここで，$a'_{ij}\in R$である．すると，初等変形により \[ F' \sim \begin{pmatrix} d_1 &0&\cdots &0 \\ 0& &&\\ \vdots &&F_1&\\ 0&&& \end{pmatrix}\in \mathcal{F} \] となる．ここで，$F_1 \in M_{m-1,n-1}(R)$である． $F_1 \neq \mathbf{0}$であれば，同様の操作を$F_1$に施して \[ F \sim F' \sim \begin{pmatrix} d_1 & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & F_1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} d_1 && \mathbf{0}\\ &d_2&& \\ \mathbf{0} && F_1 \end{pmatrix}\sim \cdots \sim \begin{pmatrix} d_1 &&&&&\\ & \ddots &&&\mathbf{0}&\\ && d_r &&&\\ &&& 0 &&\\ &\mathbf{0}&&& \ddots &\\ &&&&& 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{F} \] を得る．ここで，$d_1,\ldots,d_r \neq 0$である．一方， \[ \begin{pmatrix} d_1 &&&&&\\ & \ddots &&&\mathbf{0}&\\ && d_r &&&\\ &&& 0 &&\\ &\mathbf{0}&&& \ddots &\\ &&&&& 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} d_1 &d_2&&&&&\\ 0& d_2 &&&&\mathbf{0}&\\ &&\ddots &&&&\\ &&& d_r &&&\\ &&&& 0 &&\\ &\mathbf{0}&&&& \ddots &\\ &&&&&& 0 \end{pmatrix} \] であり，上記の主張から$d_2 \in R d_1$，つまり$d_1 | d_2$が成り立つ．同様に，任意の$i$に対し，$d_i | d_{i+1}$が言えるので，定理の主張が成り立つ．
定義 6.2.4
$R$をPIDとし，$F= (a_{ij})_{\substack{1 \leq i \leq n\\ 1 \leq j \leq m}} \in M_{n,m}(R)$をとる．$I=\{i_1,\ldots,i_k\}$と$J=\{j_1,\ldots,j_k\}$に対し，
\[
F_{IJ}:=\begin{pmatrix}
a_{i_1j_1} & \cdots & a_{i_1j_k}\\
\vdots & & \vdots\\
a_{i_kj_1} & \cdots & a_{i_kj_k}
\end{pmatrix}
\]
とおく．ただし，$1 \leq i_1 < \cdots < i_k \leq n, 1 \leq j_1 < \cdots < j_k \leq m$である．また
\[
\Delta_k(F):=\gcd(\det F_{IJ} : |I|=|J|=k)
\]
とおき，これを$k$次行列式因子という．このとき，$R\Delta_k(F)=\sum_{I,J}R\det(F_{IJ})$が成り立つので，$\Delta_k(F)$は単元倍を法として定まる．
行列式因子は初等変形によって不変である．
定理 6.2.5
$F,F' \in M_{n,m}(R)$に対し，$F \sim F'$であれば，単元倍を除いて$\Delta_k(F)=\Delta_k(F')$である．
証明
基本行列$E=E_{ij}(\alpha,\beta,\gamma,\delta)$をかけて$\Delta_k(F)$が不変なことをいえばよい．基本行列の逆行列も基本行列なので，$F'=FE$または$F'=EF$のときに，$\Delta_k(F)|\Delta_k(F')$，つまり$\Delta_k(F') \in R\Delta_k(F)$が成り立つことをいえばよい．これは実際，行列式の多重線型性を用いて，$|I|=|J|=k$となる
$I \subset \{1,\ldots,n\}, J \subset \{1,\ldots,m\}$に対し，$\det(F'_{IJ})$が$\det(F_{I'J'})$たち（$I' \subset \{1,\ldots,n\},J' \subset \{1,\ldots,m\}$）の$R$線型和で書けることがわかる．よって，$\det(F'_{IJ}) \in R\Delta_K(F)$であり，$I,J$は任意なので，$\Delta_k(F') \in R \Delta_k(F)$が従う．
この定理により単因子の一意性が従う．
系 6.2.6
$F$の単因子$(d_1,\ldots,d_r)$は単元倍を除いて一意的であり，$1 \leq k \leq r$に対し$\Delta_k(F)=d_1\cdots d_k$，$k > r$に対し，$\Delta_k(F)=0$となる．
証明
$ F \sim \begin{pmatrix}
d_1 &&&&&\\
& \ddots &&&\mathbf{0}&\\
&& d_r &&&\\
&&& 0 &&\\
&\mathbf{0}&&& \ddots &\\
&&&&& 0
\end{pmatrix}
$と定理6.2.5から$d_i=\Delta_i(F)/\Delta_{i-1}(F)$は一意的である．